北京市人大附中高一数学上学期期中试题（含解析）I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）1.设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤，则X Y ⋂=（ ） A. {}0,1B. {}1,0,1-C. {}0,1,2D.1,0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】根据表示元素的范围以及表示元素是整数先分别用列举法写出集合,X Y ，然后再计算X Y ⋂的结果.【详解】因为{}2,1,0,1X =--，{}1,0,1,2,3Y =-，所以{}1,0,1X Y ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题考查集合集合的表示方法以及集合的交集运算，难度较易. 2.下列各组函数是同一函数的是（ ）A. x y x=与1y =B. y =1y x =-C. 2x y x=与y x =D. 321x x y x +=+与y x=【答案】D 【解析】 【分析】选项A 、C 中分析每组函数的定义域是否相同；选项B 中分析分析函数的值域；选项D 中分析函数的定义域和值域. 【详解】x y x=的定义域为{x|x≠0}，1y =的定义域为R ，故A 选项错误；y =值域为[)0,+∞，1y x =-值域为R ，故B 选项错误；2x y x=与的定义域为{x|x≠0}，y x =定义域为R ，故C 选项错误； 321x x y x +=+与y x=的定义域和值域均为R ，故D 选项正确. 故选：D.【点睛】判断两个函数是否为同一函数可以先从定义域进行分析，定义域不同，则不是同一函数；定义域相同则再分析对应关系，若对应关系也相同则为同一函数，若对应关系不相同则不是同一函数.3.下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（ ） A. 1y x =-+ B. 245y x x =-+C. y =D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间()0,2上的单调性即可得到结果. 【详解】1y x =-+、245y x x =-+、1y x=在区间()0,2是减函数， y =()0,2是增函数.故选：C.【点睛】一次函数的单调性判断：()0y kx b k =+≠，当0k >时在R 上递增，当k 0<时在R 上递减；二次函数的单调性判断：()20y ax bx c a =++≠，当0a >时在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当0a <时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减. 4.命题“对任意x∈R，都有x 2≥0”的否定为（ ） A. 对任意x∈R，都有x 2＜0 B. 不存在x∈R，都有x 2＜0 C. 存在x 0∈R，使得x 02≥0D. 存在x 0∈R，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R，使得x 02＜0． 故选D ．【此处有视频，请去附件查看】5.已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A. 13- B.13C. 23-D.23【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象先用分段函数的形式写出()f x 的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出13f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由图象可知：()()()1,0,10,01,1,0x x f x x x x ⎧-∈⎪==⎨⎪+∈-⎩，所以112113333f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.6.已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】考虑“0a b >>且0c d <<”与“a bd c<”互相推出的成立情况，判断出是何种条件. 【详解】根据不等式的性质可知：由“0a b >>且0c d <<”可以推出“a bd c<”，但由“a bd c<”不能推出“0a b >>且0c d <<”，例如：1,2,3,4a d c b =-===，此时推不出“0a b >>且0c d <<”， 所以是充分不必要条件. 故选：A.【点睛】对于充分、必要条件的判断要分两步考虑：判断充分性是否满足、判断必要性是否满足，再根据判断的结果得到是属于四种条件中的何种条件.7.如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值， 所以A 、B 、C 三个选项均不符合，只有D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查实际问题中对应的函数图象问题，难度较易.8.已知集合{|523M x R x =∈--为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A. 30 B. 31C. 510D. 511【答案】C 【解析】 【分析】根据523x --为正整数可计算出集合M 中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式22n -（n 是元素个数）计算出结果.【详解】因为523x --为正整数，所以M ={−12，0，12，1，32，2，52，3，72}，所以集合M 中共有9个元素，所以M 的非空真子集个数为29-2=510，故选：C.【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有n 个元素则： 集合的子集个数为：2n ；真子集、非空子集个数为：21n -； 非空真子集个数为：22n -. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）9.方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.【答案】(){}3,7-【解析】 【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）. 【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以37x y =⎧⎨=-⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7-.故答案为：(){}3,7-.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y .10.已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________.【答案】{}1,1- 【解析】 【分析】分别考虑0,0x x ≤>时()2f x x =的解，求出解时注意判断是否满足定义域的要求.【详解】当0x ≤时，22x x =+，所以1x =-或2x =（舍）； 当0x >时，22x x =-+，所以1x =或2x =-（舍）； 所以解集为：{}1,1-. 故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查函数与方程的简单应用，难度较易.已知()f x 是分段函数，求解方程()()f x g x =的解时，可以根据()f x 的定义域分段考虑，求出每一段符合要求的解，最后写出解集.11.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．12.若函数()()2212f x x a x =--+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是__________. 【答案】（2，5） 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间()1,4内，由此计算出a 的取值范围.【详解】因为函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数， 所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a ＜5. 故答案为：()2,5.【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减. 13.几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：①函数()f x 的值域为()1,1-；②若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；③()f x 在()0,∞+是增函数；④若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】考虑0,0,0x x x ><=时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出①②③是否正确，利用归纳推理的思想判断()1n xf x n x=+是否正确.。