2017—2018学年度第一学期高一年级期中考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分 ）1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）A . {}51， B. {}15， C. (){}51， D. (){}15， 3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．1)(,)(0==x g x x f B ．xx g x x f 10lg )(,)(==C ．1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D ．x x g x x f ==)(,)(2 4．函数3121)(++-=x x f x的定义域为（ ）A ．（0,3-]B ．（1,3-]C ．(]0,3)3,(---∞ D ．(]1,3)3,(---∞5 函数y = a x - 2 + 3（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（ ）A. （0，1）B. （1，1）C. （2，3）D. （2，4）6．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =（ ）A ．1-B 2C ．1或2-D ．1-2 7．下列各式错误的是（ ） A ．7.08.033> B ．6.0log 4.0log 5..05..0> C ．1.01.075.075.0<- D ．2log 3log 32>8．已知)(x f ，)(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f （ ）A ． 3-B ．1-C ．1D ．39．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 10．函数f(x)=2||xx x ⋅的图像大致形状是（ ）11．设奇函数)(x f 在（0，+∞）上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A ．),1()0,1(+∞-B ．)1,0()1,( --∞C ．),1()1,(+∞--∞D ．)1,0()0,1( - 12．具有性质：f （）=﹣f （x ）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：① y=x ﹣② y=x +③ y=中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②D ．只有①第Ⅱ卷二、填空题：（本题共4小题，每小题5分）13．计算：7lg142lglg 7lg183-+- =________ 14．函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______.15．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -= ．16．已知函数⎩⎨⎧<≥+=0 ,10,1)(2x x x x f ，则不等式)2()1(2x f x f >-的解集是 ．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知集合{|240}A x x =-<，{|05}B x x =<<， 全集U R =，求： （1）A B ； （2）()U C A B ..18 （本小题满分12分） 已知函数12)(2--=x x x f . (1)求函数)(x f 在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若mx x f x g -=)()(在[－1,2]上是单调函数，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知幂函数()g x 过点1(2,)2，且2()()f x x ag x =+． （1）求()g x 的解析式；（2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；20．（本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系是:20(025,)45(2530,)t t t N P t t N +<<∈⎧=⎨≤≤∈⎩，该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是: ),300(40N t t t Q ∈≤<+-=，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（商品的日销售金额=该商品每件的销售价格×日销售量）21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=，且f （1）=3，f （2）=．（1）求a ，b 的值，写出f （x ）的表达式；（2）判断f （x ）在区间[1，+∞）上的增减性，并用单调性的定义加以证明．22．（本小题满分12分）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，函数)]3()1([21)()(f f x f x g +-=. （1）若0)0(,0)1(==-f f ，求出函数)(x f 的零点；（2）若)(x f 满足0a >且)1()1(--=-x f x f ；又()g x 在区间]2,2[-上的最大值为1-，求()g x 的表达式；（3）若)3()1(f f ≠，证明方程0)(=x g 必有一个实数根属于区间)3,1(.2017—2018学年度第一学期期中考试参考答案 高一数学一．选择题（共12小题） BCBA DDCC CBDB 二．填空题（共4小题）13． 0， ．14． 2 ． 15． -1 ．16．()-1三．解答题（共6小题）17解：{|240}A x x =-<{|2}x x =<------2分 {|05}B x x =<< （Ⅰ）{|02}AB x x =<<-----------5分（Ⅱ）{|2}U C A x x =≥--------------7分(){|2}{|05}U C A B x x x x =≥<<{|25}x x =≤< ----10分18解：(1)∵f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，x ∈ [12，3]， …………………1分 ∴f (x )的最小值是f (1)＝－2. …………………3分 又f (12)＝74-，f (3)＝2， …………………5分 所以f (x )在区间[12，3]上的最大值是2，最小值是－2. ……………6分 (2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x －1， ………………7分 g (x )的图像的对称轴为=x 22m + …………………8分 ∴22m + ≤－1或22m +≥2，即m ≤－4或m ≥2. 故m 的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)． ………………12分19.解：（1）设幂函数的解析式()g x αx =． ………………………………………1分 因为幂函数()g x 过点1(2,)2， 所以212=α，解得：1-=α． ……………………………3分 xx g 1)(=∴． …………………………5分（2）由（1）得：xax x f +=2)(． …………………………6分 ①当0=a 时，2)(x x f =．由于)()()(22x f x x x f ==-=-，可知()f x 为偶函数．…………8分②当0≠a 时，由于)()()(222x f xax x a x x a x x f =+≠-=-+-=-，9分 且)()()()(222x f xa x x a x x a x x f -=+-≠-=-+-=-，…………11分所以)(x f 是非奇非偶函数． ……………………………………12分 20.解：设日销售额为y 元，则Q P y ⋅=． ………………………………2分所以⎩⎨⎧∈≤≤-⨯∈<<-+=),3025()40(45),250()40)(20(N t t t N t t t t y ． ……………………5分即：⎩⎨⎧∈≤≤-∈<<++-=),3025(451800),250(800202N t t tN t t t t y⎩⎨⎧∈≤≤-∈<<+--=),3025(451800),250(900)10(2N t t tN t t t y ．………………………7分 当250<<t 时，10=t ，900max =y ； …………………………9分 当3025≤≤t 时，25=t ，675max =y ． …………………………11分故所求日销售金额的最大值为900元，日销售金额最大的一天是30天中的第10天．…12分 21．（12分）已知函数f （x ）=，且f （1）=3，f （2）=．（1）求a ，b 的值，写出f （x ）的表达式；（2）判断f （x ）在区间[1，+∞）上的增减性，并加以证明．解：（1）由⇒ ………… 3分⇒………… 5分则f （x ）=………… 6分 （2）证明：任设l ≤x 1＜x 2………… 7分f （x ）﹣f （x 2）=﹣=（x 1﹣x 2）•………… 9分∵x 1＜x 2∴x 1＜x 2＜0………… 10分又∵x 1≥1，x 2≥1∴x 1﹣x 2＜0，x 1x 2≥1，2x 1x 2≥2≥1，即，2x 1x 2﹣1＞0 ………… 11分∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即，f （x 1）＜f （x 2） 故f （x ）=在[1，+∞）上单调增函数………… 12分22.解：（1）【法一】0)0(,0)1(==-f f a b ∴= …… 1分)1()(+=∴x ax x f …………………………………… 2分所以：函数)(x f 的零点是0和1-. …………………………… 3分 【法二】因为()f x 是二次函数，所以()f x 最多有两个零点， …………… 1分又0)0(,0)1(==-f f …………………………… 2分 所以：函数)(x f 的零点是0和1-. ……………………………… 3分 （2）因为)1()1(--=-x f x f ，所以二次函数)(x f 的对称轴1-=x ,12ba-=-即2b a = ……………………………………5分 所以二次函数2()2f x ax ax c =++，2()29g x ax ax a =+-………6分当[2,2]x ∈-，由于0>a ，所以max ()(2)g x g a ==- ∴1a -=- ∴1a = 所以2()29g x x x =+- ………………………………………8分 （3）因为)]3()1([21)()(f f x f x g +-=，所以 )]3()1([21)]3()1([21)1()1(f f f f f g -=+-=)]1()3([21)]3()1([21)3()3(f f f f f g -=+-=，………… 10分0)]3()1([41)3()1(2<--=⋅∴f f g g ………………………11分()0g x ∴=在区间(1,3)内必有一个实根即方程0)(=x g 必有一个实数根属于区间(1,3) ……………12分。