2
小结：通过向量垂直两向量的数量积为 0，建立等式将向量问题转化为方程求解．
向量垂直的证明
( ) ( ) ( ) ( ) 例
1．已知非零向量
ar
和
r b
夹角为
60o
，且
ar
+
r 3b
⊥
7ar
−
r 5b
，求证：
ar
−
r 4b
⊥
7ar
−
r 2b
．
分析：欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零．
( ) ( ) 证明：因为
= −a2 + 2 a2 + 1 a2 = 0 . 33
所以 AD ⊥ DE .
ar
r −b
=
4
6
，
∴
ar
−
r b
2
=
ar
−
r b
⋅
ar
−
r b
= ar 2
−
2ar
⋅
r b
+
r b
2
=
ar 2
+
r2 b
−
2ar
⋅
r b
=
4
2
6 ．把
ar
=
6,
r b
=
10,
代入得
ar
⋅
r b
=
20
．由
ar
⋅
r b
=
ar
⋅
r b
⋅ cosθ
，得 20 = 6 ×10 × cosθ , 于是 cosθ = 1 ．
小结：解决本题也可利用向量坐标运算，或 4a ⋅ b = (a + b) 2 − (a − b) 2 求解．
向量的夹角
例 1、已知不共线向量 a ， b ， a = 3 ， b = 2 ，且向量 a + b 与 a − 2b 垂直．
求： a 与 b 的夹角θ 的余弦值．
分析：由向量数量积定义知 cosθ = a ⋅b ，所以需求 a ⋅b 之值．由已知得 (a + b) ⋅ (a − 2b) = 0 ，从中可求得 a ⋅b ab
向量垂直时的参数值
( ) ( ) 例
1．已知
ar
⊥
r b,
ar
=
2,
r b
=3
，当
3ar
−
r 2b
⊥
λar
+
r b
时，求实数 λ 的值．
分析：求一个实数的值，运用方程的思想，建立一个方程，通过解方程使问题得解．
( ) ( ) ( ) ( ) 解
：
Q
ar
⊥
r b
，
∴ ar
⋅
r b
=
0
．Q
3ar
−
r 2b
a + b = (m + 2, m − 4), a − b = (m,−m − 2) ，再运用向量垂直的充要条件求出 m 的值．
求向量夹角的余弦
例 1．设
ar
= 6,
r b
= 10,
ar
−
r b
=
4
6
，则
ar
与
r b
的夹角θ
的余弦值为＿＿＿＿＿．
分析：要求夹角需先求出
ar
⋅
r b
的值。
( ) ( ) ( ) 解 ： Q
分析：应先求出 a, b ，再计算 a ⋅ b ．
解：由已知 a + b = 2i − 8 j,
①
a − b = −8i +16 j, ②
①＋②得 a = −3i + 4 j.
①－②得 b = 5i −12 j.
故 a ⋅ b = (−3i + 4 j) ⋅ (5i − 12 j) = −15 − 48 = −63.
小结：利用向量数量积及有关知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断，因为向量积与长度 （模）和角有关．
如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边．如图所示，ΔABC 为等腰三 角形 AB = AC ，D 为底边 BC 的中点．设 AB = a ，AC = b ，a = b ，BC = b − a ，
⊥
λar
+
r b
，∴
3ar
−
r 2b
⋅
λar
+
r b
=0
，
即
3λar 2
+
(3
−
2λ
)ar
⋅
r b
−
r 2b
2
=
0 ，∴ 3λ ar 2
+
(3
−
2λ
)ar
⋅
r b
−
2
r b
2
=
0 ※．把
ar
=
2,
r b
=
3
，
ar
⋅
r b
= 0 代入※式，
得 3λ ⋅ 22 + (3 − 2λ )⋅ 0 − 2 ⋅ 32 = 0,∴ λ = 3 .
∴ a ⋅ b = a ⋅ b cos180° = 4× 5× (−1) = −20 ，
（2）当 a ⊥ b 时，θ = 90° ， ∴ a ⋅ b = a ⋅ b cos90° = 0 ， （3）当 a 与 b 的夹角为 30° 时，
1
a ⋅ b = a ⋅ b cos 30° = 4× 5× 3 = 10 3 . 2
AD = 1 (a + b) 2
∴ BC
⋅
AD
=
(b
−
a) ⋅
1
(b
+
a)
=
1
(
b
2
−
a
2
)
=
0
2
2
故 AD ⊥ BC ，命题成立.
利用向量垂直证明平面几何垂直问题
例 1． 如图，已知 ΔABC 中， ∠C 是直角，CA = CB ， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上的一点，且 AE = 2EB . 求证： AD ⊥ CE .
向量垂直
例 1、已知向量 i, j 为相互垂直的单位向量，设 a = (m + 1)i − 3 j, b = i + (m − 1) j,
(a + b) ⊥ (a − b) ，则 m = _____ .
分析：本题考查向量运算，两向量垂直的充要条件．
3
解：由题设可知 a + b = (m + 2)i + (m − 4) j ，
小结：（1）两向量同向时，夹角为 0（或 0° ）；而反向时，夹角为π （或180° ）；两向量垂直时，夹角为 90° ．因 此当两向量共线时，夹角为 0 或π ，反过来若两向量的夹角为 0 或π ，则两向量共线．
（2）对于命题④我们可以改进为： a = b 既不是 a ⋅ c = b ⋅ c 的充分条件也不是必要条件．
法则．①中∵ a ⋅ b = a ⋅ b cosθ ，∴由 a ⋅ b = a ⋅ b 及 a 、b 为非零向量可得 cosθ = 1，∴θ = 0 或π ，∴ a // b 且
以上各步均可逆，故命题①是真命题．②中若 a 、 b 反向，则 a 、 b 的夹角为π ，∴ a ⋅ b = a ⋅ b cosπ = − a ⋅ b 且 以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当 a ⊥ b 时，将向量 a 、 b 的起点确定在同一点，则以向量 a 、 b 为邻 边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有 a + b = a −b ．反过来，若
∴ b = d ， a = c ，即 AB = CD ， BC = DA ， 故四边形 ABCD 是平行四边形. 由此 a = −c ， b = −d
又Q a ⋅b = b ⋅ c ，即 b(a − c) = 0
∴b ⋅ (2a) = 0 即 a ⊥ b ⇒ AB ⊥ BC 故四边形 ABCD 是矩形
之值．
解：Q(a + b) ⋅ (a − 2b) 垂直，
∴(a + b) ⋅ (a − 2b) = 0
根据向量数量积的运算律得
2
2
a −a⋅b−2b = 0， a =3， b = 2
2
2
∴a⋅b = a −2b =1
Qa ⋅b = a b cosθ
2
∴cosθ = a ⋅b = 1 ，即为所求． ab 6
=
7
ar
2
−
15 ar
r b
+
r 8b
2
，把
ar
=
r b 代入上
2
( ) ( ) ( ) ( ) r
式消去 b
得
ar
−
r 4b
⋅
7ar
−
r 2b
= 7 ar 2 − 15 ar ar
+ 8 ar 2
= 0 ．所以
ar
−
r 4b
⊥
7ar
−
r 2b
．
小结：这也是垂直的证明问题，但不是从平面几何的角度，而是直接从数量积的角度给出条件，再运用数量积 的有关知识解决问题．
小结：非零向量 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = a b cosθ = 0 是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段，特别是根据向量数 量积的定义，把研究形的问题，转化为数量问题，如已知 a = 1 b = 2 ，a 与 b 夹角为 60° ，问当 k 取何值时，(k a + b) 与 (3a − 2b) 垂直，Q a ⋅b = a b cos 60° = 1，由 (ka + b) ⋅ (3a − 2b) = 0 可求得 k = 5 ．