椭圆题型归纳大全椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程2x =++所表示的曲线是练习： 1.方程6=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆 3.方程10=成立的充要条件是（ ）A. 2212516x y += B.221259x y += C.2211625x y +=D.221925x y +=4.1m =+表示椭圆，则m的取值范围是5.过椭圆22941xy +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M 的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程2211625x y +=的曲线是到定点 和的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221x y a b+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k+=>-++；（四）定义法求轨迹方程；例 5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224xy +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =g 的点，求点P的轨迹方程；（七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题 例 1.已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；题型四.椭圆的几何性质 例1.已知P 是椭圆22221x y a b+=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF g 的最大值与最小值之差为例 2.椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例 3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12，则k =；例4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为题型五.求范围 例1.方程22221(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用 例1. 方程2x y =++所表示的曲线是例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为 例4．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
例5．已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．题型七.求离心率 例1. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直线AB 的距离为，则椭圆的离心率e = 例2.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为例3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PFPQ=，则椭圆的离心率为 ；题型八.椭圆参数方程的应用 例1. 椭圆22143x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标例2.方程22sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系 （1）直线与椭圆的位置关系 例 1. 当m为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？例2.曲线22222xy a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a的取值范围。
例 3.为(ky0+=-x不存在，免讨论，我们可以设直线l的方程为3x，这-=my样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，l ：3-=my x)(3|)||(|3||||21||||21212121y y y y y OP y OP S AOB -=+=⋅+⋅=∆把3-=my x 代入椭圆方程得：124)332(3222=-++-y my y m ，即336)43(22=--+my y m ，4336221+=+m my y，433221+-=m yy481444314312)43(108||22222221++=+++=-x m m m m y y3)13(133443133443394222222+++⋅=++⋅=++=m m m m m m 23234133133422=≤+++=m m m∴3223=⨯≤S ，此时1331322+=+m m 36±=m令直线的倾角为α，则tan 2α==±即OAB ∆面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为26±。
例 4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。
（二）弦长问题 例1.已知椭圆22212xy +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A 的坐标。
分析：若直线y kx b =+与圆锥曲线(,)0f x y =相交于两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则弦PQ的长度的计算公式为||11||1||212212y y k x x k PQ -+=-+=，而21221214)(||x x x x x x-+=-，因此只要把直线y kx b =+的方程代入圆锥曲线(,)0f x y =方程，消去y （或x ），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设0(,0)A x （0x>），则直线l 的方程为0y x x =-，设直线l 与椭圆相交于11(,)P x y 、22(,)Q x y ，由022212y x x x y =-⎧⎨+=⎩，可得2200342120xx x x -+-=， 34021xx x =+，3122221-=⋅x x x ，则2202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=∴204x=，又00x>，∴02x=，∴(2,0)A ；例2.椭圆221axby +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C是AB 的中点，若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求,a b 的值。
例3.椭圆1204522=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，求直线方程。
（三）弦所在直线方程 例 1.已知椭圆221164x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；例2.已知一直线与椭圆224936xy +=相交于,A B 两点，弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；例3. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B两点，且C 分有向线段AB 的比为2. （1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ∆的面积；（2）当OAB ∆的面积最大时，求椭圆E 的方程．解：（1）设椭圆E 的方程为12222=+b y a x ，由23c e a ==，∴a 2=3b 2故椭圆方程22233xy b +=；设1122(,),(,)A x y B x y ，由于点(1,0)C -分有向线段AB 的比为2．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x ，即⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21yy xx由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2－3b 2=0由直线l 与椭圆E 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+-=13331360)23)(13(4362222122212224k b k x x k k x x b k k k Δ 而122222211333|||2||||(1)||||1|22222OAB S y y y y y k x k x ∆=-=--==+=+⑥由①④得:222131x k +=-+，代入⑥得：23||(0)31OAB k S k k ∆=≠+.（2）因23||313123||||OABk Sk k k ∆==≤=++当且仅当,33±=k OAB S ∆取得最大值．此时121x x+=-，又∵12213x x+=-，∴121,2xx =-=-；将12,x x 及213k=代入⑤得3b 2=5，∴椭圆方程2235x y +=．例 4.已知1122(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22143x y +=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。