椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；练习：1.6=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程2211625x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k+=>-++； （四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c>>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题 例1.已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos FPF ∠； 题型四.椭圆的几何性质例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为 例2.椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ； 例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12，则k = ； 例4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为题型七.求离心率 例1. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直线AB e = 例2.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；题型八.椭圆参数方程的应用例1. 椭圆22143x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标 例2.方程22sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围； 题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？ 例2.曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。

例3.过点)0 ,3(-P 作直线l 与椭圆223412x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB ∆面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

例 4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。

（二）弦长问题例1.已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A 的坐标。

例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点， 若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求,a b 的值。

例 3.椭圆1204522=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，求直线方程。

（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆221164x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ； 例2.已知一直线与椭圆224936x y +=相交于,A B 两点，弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；例3. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2.（1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ∆的面积；（2）当OAB ∆的面积最大时，求椭圆E 的方程． 例4.已知11022(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22143x y +=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m =+对称；例2.已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率322=e ，试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。

题型十.最值问题 例1．若(3)P -，2F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。

F 2F 1M 1结论1：设椭圆12222=+b y a x 的左右焦点分别为12,F F ,00(,)P x y 为椭圆内一点，(,)M x y 为椭圆上任意一点，则2MP MF +的最大值为12a PF +,最小值为12a PF -；例2．(2,6)P -,2F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。

论2设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为12,F F ，00(,)P x y 为椭圆外一点，(,)M x y 为椭圆上任意一点，则2MP MF +的最大值为12a PF +，最小值为2PF ;2.二次函数法例3．求定点(,0)A a 到椭圆12222=+by a x 上的点之间的最短距离。

结论3：椭圆12222=+by a x 上的点(,)M x y 到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

3.三角函数法例4．求椭圆14222=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的距离的最值； 结论4：若椭圆12222=+by a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。

4.判别式法例4的解决还可以用下面方法结论5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

例5.已知定点(2,3)A -，点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求2AM MF +的最小值，并求此时点M 的坐标；（第二定义的应用）题型十一.轨迹问题例1．到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( )A ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．直线 Ｄ．线段例2．已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=的上半圆周上(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA于Q ，求点Q 的轨迹方程。

例3.已知圆22:(3)100C x y -+=及点(3,0)A -，P 是圆C 上任一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于Q 点，求Q 点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合例1．关于x 20kx k +=有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围.例2．求函数μ=。