椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。

5. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。

解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。

（略） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质1． 求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ； （2）过（3，0）点，离心率为36=e 。

（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

3．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为_____33________________ （四）椭圆系————共焦点，相同离心率1．椭圆192522=+y x 与)90(192522<<=-+-k ky k x 的关系为（ A ）A ．相同的焦点B 。

有相同的准线C 。

有相等的长、短轴D 。

有相等的焦距2、求与椭圆14922=+y x 有相同焦点，且经过点()23-，的椭圆标准方程。

（五）焦点三角形4a1. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

若1222=+B F A F ，则=AB 8 。

2. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长是 20 。

3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则C AB ∆（六）焦点三角形的面积：1. 已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=•PF PF ，求点P 到x 轴的距离。

解：设),(y x P 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1432222y x y x 解得33||=y ，所以求点P 到x 轴的距离为33||=y 2. 设M 是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。

解：||||2||||24||||24||||2|)||(|||||2||||||cos 2121221221221212212221PF PF PF PF b PF PF c PF PF PF PF PF PF F F PF PF ⋅⋅-=⋅-⋅-+=⋅-+=θ当621π=∠MF F ，S=)32(166sin ||||2121-=⋅πPF PF3. 已知点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，1F 、2F 21=，则21F PF ∆的面积为4. 已知AB 为经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为 cb 。

（七）焦点三角形1. 设椭圆14922=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF •的最大值，并求此时P 点的坐标。

2. 椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF2 ；=∠21PF F 120O 。

3. 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为 )55,553(- 。

（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1. 点M(x,y)满足10)3()3(2222=-++++y x y x ，求点M 的轨迹方程。

（1162522=+x y ） 2. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P的轨迹方程.解：由题12102||||21=-++=+r r PC PC所以点P 的轨迹是：以1C ，2C 为焦点的距离之和为12的椭圆。

6,3==a c ，方程为1273622=+y x4. 已知)0,21(-A ，B是圆4)21(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为 13422=+y x5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是 14322=+y x 。

直接法6. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是94-，顶点A 的轨迹方程为1368122=+y x 。

相关点法7. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M 在'PP 上，并且'2MP =，求点M 的轨迹。

8. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向X 轴引垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程是1422=+y x 。

二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系1． 当m 为何值时,直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x (1)相交；(2)相切；(3)相离。

解：由⎩⎨⎧=++=14416922y x m x y 消去y 得014416322522=-++m mx x ，判别式：)25(5762m -=∆ 所以，当55<<-m 时直线与椭圆相交；当5±=m 时直线与椭圆相切；当5m m >-<或5时直线与椭圆相离。

2． 若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k 的取值范围为 。

3636>-<k k 或 (二)弦长问题1. 设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为)1,2(M 。

（1） 求椭圆的方程；12422=+y x（2） 设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求BN F 1∆的面积。

解：由（1）点B （0，2-），)0,2(2F ，直线BF 2的方程为：2=-y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-124222y x y x 消去y 得：02432=-x x ，解得324x x ==或0 所以点N 的坐标为（324，32） 所以38)232(222121211=+⋅=+=∆∆∆N F F B F F BNF S S S(三)点差法定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.1. 已知一直线与椭圆 369422=+y x 相交于A 、B 两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(，求直线AB 的方程.解：设交点),(),(2211y x B y x A ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(3694)1(369422222121ΛΛΛΛy x y x （2）-（1）得0))((9))((412121212=+-++-y y y y x x x x即k x x y y =-=--94)()(1212，又直线AB 过点（1，1） 所以直线AB 的方程为：)1(941--=-x y2. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆2213616x y +=于两点P 1、P 2，（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹． 解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116361163622222121y x y x ⇒016))((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴016)(436)(22121=-+-y y x x ，即922121-=--x x y y 。