第4节基本不等式
知识点、方法题号
利用基本不等式比较大小、证明2,3
利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13
基本不等式的实际应用6,12,14
基本不等式的综合应用5,8,10
基础巩固(时间:30分钟)
1.已知f(x)=x2(x<0),则f(x)有( C )
(A)最大值0 (B)最小值0
(C)最大值4 (D)最小值4
解析:因为x<0,所以f(x)=(x)2≤=4,当且仅当x=,即x=1时取等号.
选C.
2.下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg(x2)>lg x(x>0)
(B)sin x≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x21≥2|x|(x∈R)
(D)>1(x∈R)
解析:当x>0时,x2≥2·=x,所以lg(x2)≥lg x(x>0),故选项A不正确当2kππ<x<2k π,k∈Z时,sin x<0,sin x<0,故选项B不正确由基本不等式可知,选项C正确当x=0时,
有=1,故选项D不正确.
故选C.
3.若a,b∈R,ab≠0,且ab=1,则下列不等式中,恒成立的是( B )
(A)a2b2≤
(B)a2b2≥
(C)(1)(1)≥9
(D) ≥4
解析:由ab=1,可得a2bab=1,
因为2ab≤a2b2,当且仅当a=b时取等号.
所以2ab2≥1,
则a2b2≥.
当a,b异号时,不妨取a=1,b=2,易知A,C,D都不正确.
故选B.
4.导学号 38486112(2017·枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x4y的最小值是( C )
(A)24 (B)28 (C)25 (D)26
解析:因为正数x,y满足=1,
则3x4y=(3x4y)( )=13≥133×2=25,
当且仅当x=2y=5时取等号.
所以3x4y的最小值是25.
故选C.
5.导学号 38486113(2017·平度二模)若直线2mxny2=0 (m>0,n>0)过点(1,2),则最小值
( D )
(A)2 (B)6
(C)12 (D)32
解析:因为直线2mxny2=0(m>0,n>0)过点(1,2),
所以2m2n2=0,即mn=1,
因为=()(mn)=3≥32,
当且仅当=,即n=m时取等号,
所以的最小值为32,
故选D.
6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB
上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则的最小值为( C )
(A) (B)4 (C) (D)5
解析:由题意可得, a·S△BCD bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高.
h==2,
所以ab=2.
所以= (ab)( )= (5)≥ (52)=,
当且仅当a=2b=时取等号.
故选C.
7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2)(4y2)的最小值为.
解析:(x2)(4y2)=54x2y2≥52=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.
答案:9
8.(2017·洛阳二模)设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则的最小值为.
解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项,
则有3a2b=3,则有a2b=1
则=(a2b)( )=4()≥42=8,
当且仅当a=2b=时,等号成立.
即的最小值为8.
答案:8
能力提升(时间:15分钟)
9.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( A )
(A)[,∞) (B)(,∞)
(C)( ∞,) (D)(∞,]
解析:由x>0,=,
令t=x,则t≥2=2,
当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,
所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥.故选A.
10.导学号 38486114(2017·揭阳一模)已知抛物线y=axxa1(a∈R),恒过第三象限上一定点
A,且点A在直线3mxny1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为( B )
(A)4 (B)12
(C)24 (D)36
解析:抛物线y=axxa1(a∈R),
即y3=(x1)(axa2),
所以A(1,3),所以mn=,
又==63()≥66=12,
当且仅当m=n时等号成立.
故选B.
11.(2017·淄博一模)设向量=(1,2),=(a,1),=(b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为( C )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)9
解析:=(a1,1),=(b1,2),
因为A,B,C三点共线,所以2(a1)(b1)=0,化为2ab=1.
又a>0,b>0,则=(2ab)( )=4≥42=8,当且仅当b=2a=时取等号.
故选C.
12.(2017·江苏卷)某一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.
解析:一年的总运费为6×=(万元).
一年的总存储费用为4x万元.
总运费与总存储费用的和为(4x)万元.
因为4x≥2=240,
当且仅当=4x,
即x=30时取得等号,
所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
答案:30
13.已知x>0,y>0,且2x5y=20.
(1)求u=lg xlg y的最大值
(2)求的最小值.
解:(1)因为x>0,y>0,
所以由基本不等式,
得2x5y=20≥2.
即xy≤10,当且仅当2x=5y时等号成立,此时x=5,y=2,
所以u=lg xlg y=lg(xy)≤lg 10=1.
所以当x=5,y=2时,u=lg xlg y有最大值1.
(2)因为x>0,y>0,所以=()·=(7)≥(72)
=,当且仅当=时等号成立.
所以的最小值为.
14.某造纸拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价解:(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米.
总造价f(x)=400×(2x)248×2x80×162
=1 296x12 960=1 296(x)12 960≥1 296×212 960=38 880,
当且仅当x=(x>0),
即x=10时取等号.
所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知
所以≤x≤16.
设g(x)=x(≤x≤16),
g(x)在[,16]上是增函数,
所以当x=时(此时=16),
g(x)有最小值,即f(x)有最小值,
即f(x)min=1 296× ()12 960=38 882.
所以当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,总造价最低为38 882元.。