高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则 b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b <。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22S xy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。
例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 例3：已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．例4： 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 ．（类似例5）二、转化题型1.和积共存的等式，求解和或积的最值。
例5：（2010年高考重庆卷第7题）已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C.92 D. 1122.分式型函数（二次一次二次、、一次二次二次）求解最值。
例6：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是_________。
例7：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（ ）(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+三、解决恒成立问题例8：若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．变式训练：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．◆课后强化 一、选择题。
1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋ab≥－2 C.b a ＋ab ≤－2 D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥22．[2011·重庆卷] 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．43．对一切正数m ，不等式n <4m＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，42)C ．(42，＋∞)D ．[42，＋∞) 4．[2011·陕西卷] 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b5．[2011·安徽] 已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．设a 、b 、c 都是正数，那么a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a三个数( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于27．若x 、y 、z 均为正实数，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z2的最大值是( )A.22B. 2 C ．2 2 D ．23 8．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－49．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝4，则5x ＋5y 的最小值是( ) A ．9 B ．25 C ．50 D ．16210．若log 2x ＋log 2y ＝82log ，则3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．4 6D ．86二、填空题。
1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．2.（2010年高考山东卷第14题）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 。
3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知t o >,则函数2t 41t y t-+=的最小值为4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是 。
（变式：求2x +y 的最小值为______）5．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y ＝x ＋4x (x >0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sin x ＋4sin x .6．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．7．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．三、解答题。
1．(13分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.2．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；(2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明．5．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 对边为a 、b 、c ，且53cos =C ，206522=-+ab b a ）（ （1）求C ；（2）当三角形ABC 面积最大时，求sin A 。
答案◆课前热身（略） ◆考点剖析例1.解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy +≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，13xy，3.xy ∴≤，故xy 的最大值位3.例2.解：()211a ab a a b ++-＝211()a ab ab ab a a b -+++- ＝11()()ab a a b ab a a b ++-+-≥2＋2＝4 当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a 2,b 2满足条件。
故选择答案D例3. 1/5 例4.18例5.解： 因为x >0，y >0，所以2228)2(82⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422≥-+++y x y x即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 等号当且仅当22x y ==时成立，故选择答案B 。
例6.解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则 222(3)1133(1)(1)x S x x x -==-⋅+⋅⋅- 令22(3)()(01)1x f x x x -=<<-，则22269610()111x x x f x x x -+-+==--- 令35,(25)t x t =-+<<，则22261021818516110161()()103x t t t x t t t t -+===---+---++ 因为25t <<，所以16168t t t t+≥⋅=，等号当且仅当t=4，即13x =时成立。
所以16t t+最小值为8 故2269()1x x f x x -+=-的最小值为8，S 323。
sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+， 令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，令21,0t x t =+>，则22(1)(1)32233t t t t y t t t t----+===+-≥等号当且仅当2t t=，即t =时成立。
故min ()3PA PB •=-+.此时x =，选择答案D 。
例8.51≥a 变式：10 ◆课后强化 一、选择题。
1.D2.C3.B4.B5.C6.C7.A8.C 二、填空。
1.P<Q<R 2.51≥a 3.-2 4.18 5.①③ 6.3 三、解答题。
1.[解答] (1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.2．[解答] (1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .①又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2(y ＞0)，∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，例5图当且仅当x2＝4x2，即x＝2时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝ 2.如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋4x2，可知函数f(x)在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5，∴y max＝5－2＝ 3.即DE为AB边中线或AC边中线时，DE最长．。