目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式3pqrCh20. 个对称变量法3uvwCh21. 个对称变量法ABCCh22. 法SOSCh23. 法SMVCh24. 法Ch25. 拉格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数（）各项符号相同，且，则：i x i 12n ,,...,=i x 1>-12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++++1()式1()当时，式变为： 12n x x x x ...====1()n 1x 1nx ()+≥+2()Ch2. 均值不等式2.1若为正实数，记：12n a a a ,,...,⑴为平方平均数，简称平方均值；n Q =⑵ ，为算术平均数，简称算术均值；12nn a a a A n...+++=⑶，为几何平均数，简称几何均值； n G =⑷ ，为调和平均数，简称调和均值.n 12nn H 111a a a ...=+++则：n n n n Q A G H ≥≥≥3() 时，等号成立. （注：当且仅当.） iff 12n a a a ...===iff if and only if =式称3()Ch3.幂均不等式3.1设为正实数序列，实数，则记：12n a a a a (,,...,)=r 0≠1rrrr12n r a a a M a n ...()⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4()式的称为幂平均函数.4()r M a ()3.2若为正实数序列，且实数，则：12n a a a a (,,...,)=r 0≠r s M a M a ()()≤5()当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.r s ≤5()r r M a()r 式称简5()3.3设为非负实数序列，且，若为正12n m m m m (,,...,)=12n m m m 1...+++=12n a a a a (,,...,)=实数序列，且实数，则：r 0≠1m r rr rr1122n n M a m a m a m a ()(...)=+++6()式称为加权幂平均函数.6()3.4若为正实数序列，且实数，对则：12n a a a a (,,...,)=r 0≠m r M a ()m m r s M a M a ()()≤即： 11rrr sss sr1122n n 1122n n m a m a m a m a m a m a (...)(...)+++≤+++7()当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.r s ≤7()r m r M a ()r 式称简7()Ch4. 柯西不等式4.1若和均为实数，则：12n a a a ,,...,12n b b b ,,...,222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b (...)(...)(...)++++++≥+++8()时，等号成立.（注：当且仅当.） iff n 1212na a ab b b ...===iff if and only if =式8()4.2柯西不等式还可以表示为：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≥9()简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将简称为积均值，记：.1122n na ba b a b n...+++n D =则：224n n n Q a Q b D ab [()][()][()]≥n D ab ()≥10()4.3推论1：若为实数，，则：a b c x y z ,,,,,x y z 0,,> 2222n 12n 1212n 12na a a a a ab b b b b b (...)......++++++≥+++11()时，等号成立.iff n 1212na a ab b b ...===式是柯西不等式的推论11()4.4推论2：若和均为实数，则：12na a a ,,...,12n b b b ,,..., ...+++≥12()时，等号成立. iff n 1212na a ab b b ...===4.5推论3：若为正实数，则：a b c x y z ,,,,,x y z b c c a a b y z z x x y()()()+++++≥+++13()Ch5. 切比雪夫不等式5.1若；，且均为实数.则：12n a a a ...≤≤≤12n b b b ...≤≤≤12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++14() 或时，等号成立. iff 12n a a a ...===12n b b b ...===式12()由于有，条件，即序列同调， 12n a a a ...≤≤≤12n b b b ...≤≤≤所以使用时，常采用 …… WLOG 12n a a a ...≤≤≤(注：不失一般性) WLOG Without Loss Of Generality =5.2切比雪夫不等式常常表示为：12n 12n 1122n na a ab b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≤15()简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则： 2n n n A a A b D ab ()()[()]≤n D ab ()≤16()Ch6. 排序不等式6.1若；为实数，对于的任何轮换，12n a a a ...≤≤≤12n b b b ...≤≤≤12n a a a (,,...,)12n x x x (,,...,)都有下列不等式：1122n n 1122n n n 1n 121n a b a b a b x b x b x b a b a b a b .........-+++≥+++≥+++17().17()其中，称正序和，称反序和，1122n n a b a b a b ...+++n 1n 121n a b a b a b ...-+++称乱序和. 故式可记为：1122n n x b x b x b ...+++17()正序和乱序和反序和≥≥18()6.2推论：若为实数，设为的一个排序，则：12n a a a ,,...,12n x x x (,,...,)12n a a a (,,...,)22212n 1122n n a a a a x a x a x ......+++≥+++19()Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切，，若函数是向下凸函数，则：x y a b ,[,]∈01(,)α∈f a b R :[,]→f x 1y f x 1f y (())()()()ααα+-≤+-20()式是向下凸函数的定义式.20()注：表示区间和函数在区间都是实数.f a b R :[,]→a b [,]f x ()a b [,]7.2若对任意，存在二次导数，则在区间为向f a b R :(,)→x a b (,)∈f x 0''()≥f x ()a b (,)下凸函数；时，若，则在区间为严格向下凸函数. iff x a b (,)∈f x 0''()>f x ()a b (,)7.3若在区间为向下凸函数，则函数在在区间对12n f f f ,,...,a b (,)1122n n c f c f c f ...+++a b (,)任何也是向下凸函数.12n c c c 0,,...,(,)∈∞7.4若是一个在区间的向下凸函数，设，为实f a b R :(,)→a b (,)n N ∈12n 01,,...,(,)ααα∈数，且，则对任何，有：12n 1...ααα+++=12n x x x a b ,,...,(,)∈1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++21()式就是加权21()简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若是一个在区间的向下凸函数，则对一切，有：f a b R :[,]→a b [,]x y z a b ,,[,]∈ x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++22()22()8.2波波维奇亚不等式可以写成：x y z f x f y f z x y y z z xf f f f 3322223()()()()()()()++++++++++≥23()简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若是一个在区间的向下凸函数，，则：f a b R :[,]→a b [,]12n a a a a b ,,...,[,]∈ 12n 12n f a f a f a n n 2f a n 1f b f b f b ()()...()()()()[()()...()]++++-≥-+++24()其中：，（对所有的） 12n a a a a n...+++=i j i j 1b a n 1≠=-∑i24()当，，，时，，，， 1a x =2a y =3a z =n 3=x y z a 3++=1y z b 2+=2z x b 2+=3x yb 2+=代入式得：23()。