i i
若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
讨论：1. J、ω均不变， J ω=常数 2. J、ω都改变， 但 J ω不变 注意: 1).运用角动量守恒时,系统中各物体均绕同一转轴转动 2).角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需 相对同一惯性参照系。
X. J. Feng
花样滑冰运动员通过改变 身体姿态即改变转动惯量 来改变转速
aB R （4） a人 a人绳 a绳地 aB （5） 2 aB g 由上五个方程可得： 7
T2
2
A M
Mg
M g 2
X. J. Feng
质点直线运动： F ma 1 2 1 2 Fdx m vb m va 2 2 a
b
2
刚体定轴转动 M J
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2 1
2 r i i mi 质量非连续分布 r为质元到转轴距离 J 2 r m dm 质量连续分布
质量元dm
线分布：dm dx 面分布：dm ds
体分布：dm dV 2.2 转动惯量的计算示例
•均匀细棒m,l (1).绕过中心与棒轴的转动惯量 解: dJ x 2 dm x 2dx
2
平行轴定理:
1 J 2O J 2O M ( R l ) MR 2 M ( R l ) 2 J 2 2 1 2 1 2 2 J J1 J 2 ml MR M ( R l ) 3 2
X. J. Feng
哪种握法转动惯量大？
3.转动定律应用举例 已知： M ,R ,m 例1: 求：m的加速度
讨论: 两不同轴轮子的角加速度
求:两轮子的角加速度 判断:
m , R 1 1 已知: A轮上有一外力矩M,方向如图
A
m2 , R2
B
X. J. Feng
解(一): 1 1 2 2 ( m1 R1 m2 R2 ) M 2 2 两轮不同轴,不能取为同一体系 解(二): 1 R1 2M 1 2 2 ( m1 R1 ) 1 M 1 2 R2 2 m1R1 A轮不只受一个外力矩
mg T ma 1 TR ( MR 2 ) 2 a R
m
T mg
(2)
1 2 0 t t 2
0 t 0
h R
2

mgR mR 2 MR 2 / 2
81.7rad / s
2
h 6.12102 m
(3)从静止态回到原位置
0 2 2 10 rad / s
2
3.3 定轴转动中的功能关系 1. 转动动能： 1 1 2 刚体定轴转动时每 E m v m r 2 2 Ki i i i i 2 2 个质点的动能： 1 2 2 1 2 E E ( m r ) J 刚体转动动能： K Ki i i 2 i i 2 1 与质点Ek mv 2相似 2.力矩的功 2 dA FdS cos F d
1. 转动定律
刚体的定轴转动：?
切向方程： F
v O r
F sin ma t
rF sin rm(r )
ψ
M mr
2
X. J. Feng
刚体定轴转动时：各点均作圆周运动
任一点的方程：
M i (mi ri )
2
M i外 M i内 mi ri
2
对所有质点求和：
定轴O
·
X. J. Feng
M ,R
绳
解：
N
T
m
对 m： mg T ma
对轮： TR
R
T
a
m
J
G
mg
a R
a
例2:
已知:m1 = m2 M1 R1 M2 R2 求：、 T1 、T2 解： 受力分析如图所示 列方程 T1 m1 g m1a1 (1) m2 g T2 m2 a2 (2)
第三章 刚体的转动
X. J. Feng
刚体（rigid body）：特殊的质点系，运动过程中形状和 体积变化，理想化的模型。 基本方法：间距不变的质点系----刚体 质点系的牛顿定律----刚体的运动规律 3.1 刚体运动学 平动：与质点处理方法相同
1. 刚体的运动
转动：定轴或定点
复合运动：平动转动的叠加
1
--刚体定轴转动动能定理
合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 4.刚体重力势能： E m gh
Δ mi
P
C× hc hi Ep=0
m h mg m

i
i
i i
m gh c 重力的力矩可认为重力
作用在质心处
5.机械能守恒定律: 若W外+ W内非=0 则Ek +Ep =常量
l 2
l
A
1 2 1 l 2 2 J A J O ml ml m( ) md 2 3 12 2
l O轴与 A轴间距 d ，且二轴平行 2
x dm=dx
o
x
平行轴定理:
J A J O md
2
其中:
JO: 过质心轴的转动惯量
JA: 平行于过质心轴的轴的转动惯量
d: 两平行轴间的距离
t1
1
1
冲量矩
---角动量定理(积分式)
作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量 3.角动量守恒定律

t2
t1
Mdt J2 J1 M 0时，J2 J1
若转动物体的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
X. J. Feng
转动系统由两个或两个以上物体组成时：
M合 0时
J 常数
M
i
i外
M i内 （ mi ri )
2 i i
内力矩成对出现：
M
i
2
i内
0
转动惯量
M i外 （ mi ri )
i i
M 合 J
注意:
---刚体定轴转动定律 M , J , 都是对同一轴的
X. J. Feng 2.转动惯量（J）rotational inertia : 描述物体转动惯性的物理量 2.1定义式:
l/2
x x o dm=dx
1 l 3 1 ml 2 1 J O x dx x 3 12 12 l / 2 3 l / 2
l /2
2
(2).绕过棒端与棒轴的转动惯量
X. J. Feng
1 x 3 1 3 1 2 J A x dx l ml 0 3 3 0 3
J
R 0
问题: 球体:
1 2r dr r 4 2
3
R 0
1 mR2 2
柱体:
dr dm=2rdr
r
ω
ω
讨论: 钟摆对O的转动惯量 对同一轴的转动惯量满足叠加ห้องสมุดไป่ตู้理 O
X. J. Feng
m, l
O M , R
J J1 J 2 1 1 2 2 J MR J1 ml 2 O 2 3
X. J. Feng
m, v0
子弹, 杆, 地球为系统: 机械能守恒 1 l 2 J O mg (1 cos ) mgl (1 cos ) 2 2
•均匀园环m,R 绕过中心与环面轴的转动惯量
解: dJ R dm R
2
2R 2
X. J. Feng
R
2
dl
2
dl dm=dl
m 2 J R dl R 2R mR 0 2R •均匀盘m,R 绕过中心与环面轴转动惯量
dJ r 2 dm r 2ds r 2 2rdr
2
方向：沿Z轴正向
即刚体绕定轴转动的角动量为绕该轴 转动惯量与角速度矢量之积
2.刚体定轴转动的角动量定理
X. J. Feng
dL d (r mv ) 质点： M dt dt 定轴转动：M dL d（J） dt dt t2 2 2 Mdt d ( J) J d J2 J1
X. J. Feng

ω
x
F (rd ) cos
A dA Md
r z · 轴
r
F (rd ) sin Md
0 力矩对空间的累积效应
3.刚体定轴转动的动能定理
2
2
X. J. Feng
d d A dA Md J dt 1 1 2 1 1 2 2 J J J d 2 1 2 2
2
z
刚体转动的 各质元:
r P
角量相同
线量不同
转动平面
角速度矢量
X. J. Feng


o

v
p
v r v r
r o

对定轴转动, 角速度只有两个方向. (+, -)
3.2 刚体的定轴转动定律---刚体动力学
X. J. Feng
质点：F ma
2. 刚体的定轴转动 运动的特点:
*各质元均作角速度相同的圆周运动， 且各圆心在同一直线上 — 转轴 *各质元相对位置不变. 运动的描述： 作转动平面: 用P点的圆周运动----刚体转动 用P点的
X. J. Feng



v r v an 2r r dv at r dt
M
正确解: 对A轮:
对B轮:
1 2 M T1 R1 T2 R1 ( m1 R1 )1 2
m1 , R1