用F标记：
a1(t)
a2
(t
)
F
M
an (t)
M
把矩阵F称为(x,t) 所描写的状态在F表 象中的波函数
F的共轭矩阵是一个行矩阵，用+F标记
F
a1* (t )
a2* (t )
L
an*(t) L
若用矩阵表示归一化，有：
F F a1*(t ) a2*(t )
a1(t)
1 an*(t)
a2(t)
an* (t)an (t)
n
an(t)
综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象 中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我 们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。
例: 若给出： (r, ,,t)
1 2
R Y e
i
量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系 来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建
立一个n维（n可以是无穷大）空间，把波函数看成是这个空
在任意表象中的表示
•表象理论中采用的数学工具主要是矩阵 •矩阵力学 （海森堡 Heisenberg ）ຫໍສະໝຸດ §7.1 量子态的不同表象
讨论分立谱的情况
在坐标表象中设力学量算符 Fˆ 的本征值为： F1, F 2, ..., F n,...，
相应本征函数：1( x),2( x), n ( x), , 构成正交归一完备系
A11B12 A12 B22 A21B12 A22 B22
A11 B13 A21 B13
A12 B23 A22 B23
(1) AB BA 称A、B矩阵相互不对易 AB BA 称A、B矩阵相互对易
（2） ABC (AB)C A(BC)
(3) (A B)C AB BC
(4) AB AC ，但B=C不一定成立
• 回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系 的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。
•量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象 •常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。
•一个定义：表象的定义 •二个表示：态（波函数）在任意表象中的表示
力学量（算符）在任意表象中的表示 •三个公式：平均值公式 本征值方程 薛定谔方程
A A 则称A矩阵为厄密矩阵
A 0i
i 0
A
0* (i)*
i* 0*
0 i
i 0
A
( AB) B A ( ABCD) D C B A
表象理论
•根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述， 力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数及力学量 算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它 描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）
7、转置矩阵：把新矩矩阵阵A称的为行A和的列转互置相矩调阵换。，A~所得出的
A
A11 A21
A12 A22
A13 A23
A~
A11 A12
A13
A21 A22 A23
共轭矩阵：
A1*1
A A1*2
A1*3
A2*1
A2*2
A2*3
8、厄密矩阵：如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等
若体系状态用归一化波函数(x,t) 描述，有：
( x, t) an(t)n( x)
an(t)
* n
(
x
)
(
x,
t
)dx
n
2
(x,t) dx
an (t) 2 1
n
说明：
（1） (x,t) 2 给出量子态在t时刻测量粒子坐标为x 的概率密度 | an (t) | 2 表示在(x,t)所描述的状态中测量F得Fn的概率密度 二者从不同角度对同一量子态给予描述, 物理意义是 等价的,数学上也是等价的.
第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
矩阵简介
1、定义
A11
A
A21 AN1
A12 A22 AN 2
A1M
A2M
ANM
N M矩阵 Anm矩阵元
n 1,2, , N, m 1,2, , M
方阵：行数与列数相等的矩阵。
2、两矩阵相等 A B Anm Bnm （行列数相等）
3、两矩阵相加 C A B Cnm Anm Bnm （行列数相等） 4、两矩阵相乘（ 一个n列的矩阵A与一个n行的矩阵B相乘）
A11 A21
A12 A22
B11 B21
B12 B22
B13 B23
C11 C21
C12 C22
C13 C23
A11 B11 A21 B11
A12 B21 A22 B21
(x,t) an (t)
（2） an (t)一般不再是坐标 x的函数而是力学量F的本征值Fn 的函数，即量子数n的函数，随 n的不同取不同复数值 .
结论：{an(t)}与(x,t)描述体系的同一个态，(x,t)是这一
状态在坐标表象中的表示，而数列{an(t)}是这同一状态在F
表象中的表示。我们可以把数列{an(t)}写成列矩阵的形式，
E10t
10 00
1 2
R Y e
i
E21t
21 11
1
2
e
i
E10t
100
1 2
e
i
E21t
211
中心力场能量表象为：
a100
1
e
i
E10t
2
a200 0
E
a210 a211
a211
1 2
0
e
i
E21t
0
Hilbert（希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间
历史回顾： 量子力学的建立---矩阵力学和波动力学的提出
1925年7月初，海森伯终于完成了题为“从量子理论重新 解释运动学和力学关系”的论文。建立了矩阵力学。
1926年，苏黎世大学的奥地利科学家欧文·薛定谔发展了 另一种形式的量子力学――波动力学。
薛定谔的波动力学和海森伯的矩阵力学的出发点不同，而 且是通过不同的思维过程发展而来的，但是用这两种理论处理 同一问题时，却得到了相同的结果。包括薛定谔本人在内的许 多人已经证明了量子力学的这两种形式彼此完全等价。海森伯 的理论比薛定谔提出的早一些，可是科学家们在接受薛定谔的 波动力学时却显得迅速得多。
(5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立 (6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵:除对角元外其余为零
A1 0 0 0
A
0 0 0
A2 0 0
0 A3 0
0
0 A4
6、单位矩阵
1 0 0 0
I
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 10
单位矩阵与任何矩阵 A的乘积仍为A：IA=A 并且与任何矩阵都是 可对易的：IA=AI