河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。

求其定态能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。

四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2)0(1。

在不含时微扰H 'ˆ作用下，总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=**21100E E E H βαβα。

求受微扰后的能量至一级。

五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的xS ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。

A —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归一化波函数ψ(,)ϖr t 所描述的状态时，简述在ψ(,)ϖr t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ϖψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)ϖr t 改写为ψ(,)ϖr t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？4、简述定态微扰理论。

5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 二（20分）设粒子在三维势场()a x a z y x U <>⎩⎨⎧∞=x 0,,中运动，求粒子定态能量和波函数。

三（20分）一维运动的粒子在态()000<>⎩⎨⎧=-x x Axe x x当当λψ中运动，其中0>λ。

求()()?ˆˆ22=∆•∆p x 四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

五（20分）对自旋为21=s 的粒子，求在∃S y 表象中∃S x 、∃S y 、∃S z 的矩阵表示。

B —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？3、测不准关系是否与表象有关？4、在简并定态微扰论中，如∃()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？5、在自旋态χ12()s z 中，∃S x 和∃S y 的测不准关系(∃)(∃)∆∆S S x y 22•是多少？ 二（20分）求在三维势场()b y a x z y x U <<⎩⎨⎧∞=且当其它区域0,,中运动的粒子的定态能量和波函数。

三（20分）求氢原子基态的最可几半径。

四（20分）已知哈密顿算符H ˆ在某表象下⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2020500bi i a cH ωη 且知其基态E 0=－3ηω，求实数a ，b ，c 。

五（20分）求在∃S z 表象下，∃(∃∃)S n x z =+η21232σσ的本征值及本征函数。

当体系处于χ12()s z 态时，求S n =η2的几率为多少？ C —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger&&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger&&方程的解？ 2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

4、何谓选择定则。

5、能否由Schrodinger &&方程直接导出自旋？二（20分）求在一维势阱()其它b x a U x U <<⎩⎨⎧∞=0中运动的粒子的定态能级和波函数。

三（20分）当体系处在状态 ()ϕπϕπϕψcos 23sin 21+=时，（这里ϕ为角坐标）。

求角动量z 分量L z 的可能值及其平均值。

四（20分）转动惯量为I ，电偶极矩为ϖD 的空间转子，处在均匀电场ϖε中，如电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。

五（20分）已知∃∃∃J J iJ x y+=+，ϖ∃J 为角动量算符，jm 为∃,∃J J z 2共同本征态，试证明：∃()(),J jm j j m m j m +=+-++111ηD —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、叙述量子力学的态迭加原理。

2、厄米算符是如何定义的？3、据[a ˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

5、自旋ϖηϖ∃∃S =2σ，问ϖ∃σ是否厄米算符？ϖ∃σ是否一种角动量算符？ 二（20分）粒子在势场()()ax a x a x x U ><⎪⎩⎪⎨⎧-∞=2221μω中运动，求其定态能级及波函数。

三（20分）氢原子处于基态。

求(1) r 的平均值；(2) 动量P ϖ的平均值四（20分）已知哈密顿算符⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3020001ai ai H ωη求：（1）能量本征值；（2）当a 很小时，能量修正至二级。

五（20分）设∃(∃∃),∃∃∃F l l L J L S l =+++⋅=+12111ηϖϖϖϖϖσ，其中ϖϖηϖ∃,∃∃L S =2σ分别为轨道角动量和自旋s =12的自旋角动量。

l j ,分别为∃,∃L J 22的量子数。

求证：在l 确定的态中，当j l =+12时F l =1；当j l =-12时F l =0。

E —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 F（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。

2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。

3、知∃Ge e x x ααα=，问能否得到∃G d dx=？为什么？ 4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。

5、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？二（20分）求在辏力场势()a r a r r U ><⎩⎨⎧∞=0中运动的粒子，当l =0时的定态能级与波函数。

（l 为角量子数） 三（20分）证明[x L ˆ，y P ˆ]=z P i ˆη。

其中xL ˆ为轨道角动量x 分量，y P ˆ为动量y 分量。

四（20分）已知哈密顿算符在某表象下()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=302020201bi i a H α。

求： （1）实数a ，b ；（2）能级和本征态。

五（20分）已知∃(∃∃∃)∃H A S S S BL x y z z =+-+222，其中ϖ∃S 为自旋21=s 的自旋角动量，ϖ∃L为轨道角动量。

求体系的定态能级与波函数。

F —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 G（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E n 的简并度是多少？若粒子自旋为s ，问E n 的简并度又是多少?2、根据]ˆ,ˆ[1ˆH F i t F dt F d η+∂=∂说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。

3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？4、简述氢原子的一级stark 效应。

5、写出∃J jm +的计算公式。

二（20分）已知粒子在势场()ax a x x U x U ><<<⎪⎩⎪⎨⎧-∞=当当当0000中运动，00>U ，求束缚态能级所满足的方程。

三（20分）证明：[x ˆ，)ˆ(P f ϖ]= xP i ˆ∂∂η)ˆ(P f ϖ 四（20分）求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。

五（20分）已知体系∃(∃∃∃)∃H A L L L BS x y z z=+-+222，其中ϖ∃L 为轨道角动量，ϖ∃S 为自旋（21=s ）角动量。

求体系的定态能级与波函数。

G —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 H（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、由12=⎰τψd ，说明波函数的量纲。

2、Fˆ、G ˆ为厄米算符，问[F ˆ，G ˆ]与i [F ˆ，G ˆ]是否厄米算符？ 3、据[a ˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ证明：11ˆ++=+n n n a。

4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？5、什么是耦合表象？二（20分）粒子在势场()其它且当c z b y ,x 0,,<<<⎩⎨⎧∞=a z y x U 中运动，求其定态能级及波函数。

三（20分）球谐振子基态为222123r e απαψ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求动能平均值和最可几半径。