2020年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分) 实数3的相反数是( )A .﹣3B .13C .3D .±32.(3分) 下列各式中,计算结果为m 6的是( )A .m 2•m 3B .m 3+m 3C .m 12÷m 2D .(m 2 )33.(3分) 在平面直角坐标系中,点P (x 2+2,﹣3)所在的象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.(3分) “致中和,天地位焉,万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中,不是轴对称图形的是( )A .B .C .D .5.(3分) 某班级组织活动,为了解同学们喜爱的体育运动项目,设计了如图尚不完整的调查问卷:准备在“①室外体育运动,②篮球,③足球,④游泳,⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目,选取合理的是( )A .①②③B .①③⑤C .②③④D .②④⑤6.(3分) 如图,小明从点A 出发沿直线前进10米到达点B ,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C ,再向左转45°后沿直线前进10米到达点D …照这样走下去,小明第一次回到出发点A 时所走的路程为( )A .100米B .80米C .60米D .40米7.(3分) 如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A 、B 、C 都在格点上,以AB为直径的圆经过点C 、D ,则sin ∠ADC 的值为( )A .2√1313B .3√1313C .23D .32 8.(3分) 小明同学利用计算机软件绘制函数y =ax (x+b)2(a 、b 为常数)的图象如图所示,由学习函数的经验,可以推断常数a 、b 的值满足( )A .a >0,b >0B .a >0,b <0C .a <0,b >0D .a <0,b <0二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.(3分) 2020年6月23日,中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射.据统计,国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统,数据6500000用科学记数法表示为 .10.(3分) 分解因式:a 3﹣2a 2+a = .11.(3分) 代数式√x+23在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 . 12.(3分) 方程(x +1)2=9的根是 .13.(3分) 圆锥的底面半径为3,侧面积为12π,则这个圆锥的母线长为 .14.(3分) 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面 尺高.15.(3分) 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.如图是小明同学的健康码(绿码)示意图,用黑白打印机打印于边长为2cm 的正方形区域内,为了估计图中黑色部分的总面积,在正方形区域内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右,据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm 2.16.(3分) 如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b =3cm ,则螺帽边长a = cm .17.(3分) 如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①以点B 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB 、BC 于点D 、E .②分别以点D 、E 为圆心,大于12DE 的同样长为半径作弧,两弧交于点F . ③作射线BF 交AC 于点G .如果AB =8,BC =12,△ABG 的面积为18,则△CBG 的面积为 .18.(3分) 如图,在▱ABCD 中,∠B =60°,AB =10,BC =8,点E 为边AB 上的一个动点,连接ED 并延长至点F ,使得DF =14DE ,以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ,连接EG ,则EG 的最小值为 .三、解答题(本大题共有10小题,共96分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.(8分) 计算或化简:(1)2sin60°+(12)﹣1−√12. (2)x−1x ÷x 2−1x 2+x .20.(8分) 解不等式组{x +5≤0,3x−12≥2x +1,并写出它的最大负整数解.21.(8分) 扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手.为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度,某校随机抽取了部分同学进行调查,并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图.根据以上信息,回答下列问题:(1)本次调查的样本容量是 ,扇形统计图中表示A 等级的扇形圆心角为 °;(2)补全条形统计图;(3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训,若该校有2000名学生,试估计该校需要培训的学生人数.22.(8分) 防疫期间,全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A 、B 、C 三个测温通道,某天早晨,该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.(1)小明从A 测温通道通过的概率是 ;(2)利用画树状图或列表的方法,求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.23.(10分) 如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染.进货单商品进价(元/件) 数量(件) 总金额(元) 甲7200 乙 3200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件.请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.24.(10分) 如图,▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,过点O 作EF ⊥AC ,分别交AB 、DC 于点E 、F ,连接AF 、CE .(1)若OE=32,求EF的长;(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.25.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,点E在直径CD的延长线上,且AE =AC.(1)试判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=6,求阴影部分的面积.26.(10分)阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x、y满足3x﹣y=5①,2x+3y=7②,求x﹣4y和7x+5y的值.本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①﹣②可得x﹣4y=﹣2,由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题:(1)已知二元一次方程组{2x+y=7,x+2y=8,则x﹣y=,x+y=;(2)某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元?(3)对于实数x 、y ,定义新运算:x *y =ax +by +c ,其中a 、b 、c 是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1= .27.(12分) 如图1,已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上,且OA =OB =OC =OD =2,OC 平分∠BOD ,与BD 交于点G ,AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F .(1)求证:OC ∥AD ;(2)如图2,若DE =DF ,求AE AF 的值;(3)当四边形ABCD 的周长取最大值时,求DE DF 的值.28.(12分) 如图,已知点A (1,2)、B (5,n )(n >0),点P 为线段AB 上的一个动点,反比例函数y =k x (x >0)的图象经过点P .小明说:“点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.”(1)当n =1时.①求线段AB 所在直线的函数表达式.②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k 的最小值和最大值.(2)若小明的说法完全正确,求n 的取值范围.2020年江苏省扬州市中考数学试卷答案一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分) 实数3的相反数是( )A .﹣3B .13C .3D .±3解:实数3的相反数是:﹣3.故选:A .2.(3分) 下列各式中,计算结果为m 6的是( )A .m 2•m 3B .m 3+m 3C .m 12÷m 2D .(m 2 )3解:A 、m 2•m 3=m 5,故此选项不合题意;B 、m 3+m 3=2m 3,故此选项不合题意;C 、m 12÷m 2=m 10,故此选项不合题意;D 、(m 2 )3=m 6,故此选项符合题意.故选:D .3.(3分) 在平面直角坐标系中,点P (x 2+2,﹣3)所在的象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解:∵x 2+2>0,∴点P (x 2+2,﹣3)所在的象限是第四象限.故选:D .4.(3分) “致中和,天地位焉,万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中,不是轴对称图形的是( ) A .B .C.D.解:A、是轴对称图形,故本选项不合题意;B、是轴对称图形,故本选项不合题意;C、不是轴对称图形,故本选项符合题意;D、是轴对称图形,故本选项不合题意.故选:C.5.(3分)某班级组织活动,为了解同学们喜爱的体育运动项目,设计了如图尚不完整的调查问卷:准备在“①室外体育运动,②篮球,③足球,④游泳,⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目,选取合理的是()A.①②③B.①③⑤C.②③④D.②④⑤解:根据体育项目的隶属包含关系,选择“篮球”“足球”“游泳”比较合理,故选:C.6.(3分)如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为()A .100米B .80米C .60米D .40米解:∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度,∴他走过的图形是正多边形,∴边数n =360°÷45°=8,∴他第一次回到出发点A 时,一共走了8×10=80(m ).故选:B .7.(3分) 如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A 、B 、C 都在格点上,以AB为直径的圆经过点C 、D ,则sin ∠ADC 的值为( )A .2√1313B .3√1313C .23D .32 解:如图,连接BC .∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是AĈ, ∴根据圆周角定理知,∠ADC =∠ABC .在Rt △ACB 中,根据锐角三角函数的定义知,sin ∠ABC =AC AB ,∵AC =2,BC =3,∴AB =√AC 2+BC 2=√13,∴sin ∠ABC =2√13=2√1313, ∴sin ∠ADC =2√1313.故选:A .8.(3分) 小明同学利用计算机软件绘制函数y =ax (x+b)2(a 、b为常数)的图象如图所示,由学习函数的经验,可以推断常数a 、b 的值满足( )A .a >0,b >0B .a >0,b <0C .a <0,b >0D .a <0,b <0解:由图象可知,当x >0时,y <0, ∴a <0;x =﹣b 时,函数值不存在, ∴﹣b <0, ∴b >0; 故选:C .二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.(3分) 2020年6月23日,中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射.据统计,国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统,数据6500000用科学记数法表示为 6.5×106 .解:6500000用科学记数法表示应为:6.5×106, 故答案为:6.5×106.10.(3分) 分解因式:a 3﹣2a 2+a = a (a ﹣1)2 . 解:a 3﹣2a 2+a =a (a 2﹣2a +1) =a (a ﹣1)2. 故答案为:a (a ﹣1)2.11.(3分) 代数式√x+23在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 x ≥﹣2 .解:代数式√x+23在实数范围内有意义, 则x +2≥0,解得:x ≥﹣2. 故答案为:x ≥﹣2.12.(3分) 方程(x +1)2=9的根是 x 1=2,x 2=﹣4 . 解:(x +1)2=9, x +1=±3, x 1=2,x 2=﹣4.故答案为:x 1=2,x 2=﹣4.13.(3分) 圆锥的底面半径为3,侧面积为12π,则这个圆锥的母线长为 4 . 解:∵S 侧=πrl , ∴3πl =12π, ∴l =4.答:这个圆锥的母线长为4. 故答案为:4.14.(3分) 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面 4.55 尺高.解:设折断处离地面x 尺, 根据题意可得:x 2+32=(10﹣x )2, 解得:x =4.55.答:折断处离地面4.55尺.15.(3分) 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.如图是小明同学的健康码(绿码)示意图,用黑白打印机打印于边长为2cm 的正方形区域内,为了估计图中黑色部分的总面积,在正方形区域内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右,据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 cm 2.解:∵经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右, ∴点落入黑色部分的概率为0.6, ∵边长为2cm 的正方形的面积为4cm 2, 设黑色部分的面积为S , 则S4=0.6,解得S =2.4(cm 2).答:估计黑色部分的总面积约为2.4cm 2. 故答案为:2.4.16.(3分) 如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b =3cm ,则螺帽边长a = √3 cm .解:如图,连接AC ,过点B 作BD ⊥AC 于D , 由正六边形,得∠ABC =120°,AB =BC =a , ∠BCD =∠BAC =30°. 由AC =3,得CD =1.5.cos ∠BCD =CD BC =√32,即1.5a =√32,解得a =√3,17.(3分) 如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①以点B 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB 、BC 于点D 、E . ②分别以点D 、E 为圆心,大于12DE 的同样长为半径作弧,两弧交于点F .③作射线BF 交AC 于点G .如果AB =8,BC =12,△ABG 的面积为18,则△CBG 的面积为 27 .解:如图,过点G 作GM ⊥AB 于点M ,GN ⊥AC 于点N ,根据作图过程可知: BG 是∠ABC 的平分线, ∴GM =GN ,∵△ABG 的面积为18, ∴12×AB ×GM =18,∴4GM =18, ∴GM =92,∴△CBG 的面积为:12×BC ×GN =12×12×92=27.故答案为:27.18.(3分) 如图,在▱ABCD 中,∠B =60°,AB =10,BC =8,点E 为边AB 上的一个动点,连接ED 并延长至点F ,使得DF =14DE ,以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ,连接EG ,则EG 的最小值为 9√3 .解:作CH ⊥AB 于点H ,∵在▱ABCD 中,∠B =60°,BC =8, ∴CH =4√3,∵四边形ECGF 是平行四边形, ∴EF ∥CG , ∴△EOD ∽△GOC , ∴EO GO=DO OC=ED GC,∵DF =14DE , ∴DE EF =45,∴ED GC =45,∴EO GO=45,∴当EO 取得最小值时,EG 即可取得最小值, 当EO ⊥CD 时,EO 取得最小值, ∴CH =EO , ∴EO =4√3, ∴GO =5√3,∴EG 的最小值是9√3, 故答案为:9√3.三、解答题(本大题共有10小题,共96分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(8分) 计算或化简: (1)2sin60°+(12)﹣1−√12.(2)x−1x÷x 2−1x 2+x.解:(1)原式=2×√32+2﹣2√3 =√3+2﹣2√3 =2−√3;(2)原式=x−1x •x(x+1)(x−1)(x+1)=1.20.(8分) 解不等式组{x +5≤0,3x−12≥2x +1,并写出它的最大负整数解.解:解不等式x +5≤0,得x ≤﹣5, 解不等式3x−12≥2x +1,得:x ≤﹣3,则不等式组的解集为x ≤﹣5, 所以不等式组的最大负整数解为﹣5.21.(8分) 扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手.为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度,某校随机抽取了部分同学进行调查,并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图.根据以上信息,回答下列问题:(1)本次调查的样本容量是 500 ,扇形统计图中表示A 等级的扇形圆心角为 108 °;(2)补全条形统计图;(3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训,若该校有2000名学生,试估计该校需要培训的学生人数.解:(1)本次调查的样本容量是150÷30%=500,扇形统计图中表示A 等级的扇形圆心角为:360°×30%=108°, 故答案为:500,108;(2)B 等级的人数为:500×40%=200, 补全的条形统计图如右图所示; (3)2000×50500=200(人), 答:该校需要培训的学生人有200人.22.(8分) 防疫期间,全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A 、B 、C 三个测温通道,某天早晨,该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园. (1)小明从A 测温通道通过的概率是13;(2)利用画树状图或列表的方法,求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率. 解:(1)小明从A 测温通道通过的概率是13,故答案为:13;(2)列表格如下:A B C A A ,A B ,A C ,A B A ,B B ,B C ,B CA ,CB ,CC ,C由表可知,共有9种等可能的结果,其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能,所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为39=13.23.(10分) 如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染. 进货单 商品 进价(元/件)数量(件)总金额(元)甲7200 乙3200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下: 李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%. 王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件. 请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.解:设乙商品的进价为x 元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x 元/件, 依题意,得:7200(1+50%)x−3200x=40,解得:x =40,经检验,x =40是原方程的解,且符合题意, ∴(1+50%)x =60,3200x=80,7200(1+50%)x=120.答:甲商品的进价为60元/件,乙商品的进价为40元/件,购进甲商品120件,购进乙商品80件.24.(10分) 如图,▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,过点O 作EF ⊥AC ,分别交AB 、DC 于点E 、F ,连接AF 、CE .(1)若OE=32,求EF的长;(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AO=CO,∴∠FCO=∠EAO,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF=3 2,∴EF=2OE=3;(2)四边形AECF是菱形,理由:∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.25.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,点E在直径CD的延长线上,且AE =AC.(1)试判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=6,求阴影部分的面积.(1)证明:连接OA 、AD ,如图, ∵CD 为⊙O 的直径, ∴∠DAC =90°, 又∵∠ADC =∠B =60°, ∴∠ACD =30°, 又∵AE =AC ,OA =OD , ∴△ADO 为等边三角形,∴∠E =30°,∠ADO =∠DAO =60°, ∴∠P AD =30°, ∴∠EAD +∠DAO =90°, ∴OA ⊥E ,∴AE 为⊙O 的切线; (2)解:作OF ⊥AC 于F ,由(1)可知△AEO 为直角三角形,且∠E =30°, ∴OA =2√3,AE =6,∴阴影部分的面积为12×6×2√3−60π×(2√3)2360=6√3−2π. 故阴影部分的面积为6√3−2π.26.(10分) 阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x 、y 满足3x ﹣y =5①,2x +3y =7②,求x ﹣4y 和7x +5y 的值.本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①﹣②可得x ﹣4y =﹣2,由①+②×2可得7x +5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题:(1)已知二元一次方程组{2x +y =7,x +2y =8,则x ﹣y = ﹣1 ,x +y = 5 ; (2)某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元?(3)对于实数x 、y ,定义新运算:x *y =ax +by +c ,其中a 、b 、c 是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1= ﹣11 .解:(1){2x +y =7①x +2y =8②. 由①﹣②可得:x ﹣y =﹣1,由13(①+②)可得:x +y =5. 故答案为:﹣1;5.(2)设铅笔的单价为m 元,橡皮的单价为n 元,日记本的单价为p 元,依题意,得:{20m +3n +2p =32①39m +5n +3p =58②, 由2×①﹣②可得m +n +p =6,∴5m +5n +5p =5×6=30.答:购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.(3)依题意,得:{3a +5b +c =15①4a +7b +c =28②, 由3×①﹣2×②可得:a +b +c =﹣11,即1*1=﹣11.故答案为:﹣11.27.(12分) 如图1,已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上,且OA =OB =OC =OD =2,OC 平分∠BOD ,与BD 交于点G ,AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F .(1)求证:OC ∥AD ;(2)如图2,若DE =DF ,求AE AF 的值;(3)当四边形ABCD 的周长取最大值时,求DE DF 的值.(1)证明:∵AO =OD ,∴∠OAD =∠ADO ,∵OC 平分∠BOD ,∴∠DOC =∠COB ,又∵∠DOC +∠COB ∠=∠OAD +∠ADO ,∴∠ADO =∠DOC ,∴CO ∥AD ;(2)解:如图1,∵OA =OB =OC ,∴∠ADB =90°,∴△AOD 和△ABD 为等腰直角三角形,∴AD =√2AO ,∴AD AO =√2,∵DE =EF ,∴∠DFE =∠DEF ,∵∠DFE =∠AFO ,∴∠AFO =∠AED ,又∠ADE =∠AOF =90°,∴△ADE ∽△AOF ,∴AE AF =AD AO =√2.(3)解:如图2,∵OD =OB ,∠BOC =∠DOC ,∴△BOC ≌△DOC (SAS ),∴BC =CD ,设BC =CD =x ,CG =m ,则OG =2﹣m ,∵OB 2﹣OG 2=BC 2﹣CG 2,∴4﹣(2﹣m )2=x 2﹣m 2,解得:m =14x 2,∴OG =2−14x 2,∵OD =OB ,∠DOG =∠BOG ,∴G 为BD 的中点,又∵O 为AB 的中点,∴AD =2OG =4−12x 2,∴四边形ABCD 的周长为2BC +AD +AB =2x +4−12x 2+4=−12x 2+2x +8=−12(x −2)2+10,∵−12<0,∴x =2时,四边形ABCD 的周长有最大值为10.∴BC =2,∴△BCO 为等边三角形,∴∠BOC =60°,∵OC ∥AD ,∴∠DAC =∠COB =60°,∴∠ADF =∠DOC =60°,∠DAE =30°,∴∠AFD =90°,∴DE DA =√33,DF =12DA , ∴DE DF =2√33. 28.(12分) 如图,已知点A (1,2)、B (5,n )(n >0),点P 为线段AB 上的一个动点,反比例函数y =k x(x >0)的图象经过点P .小明说:“点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.”(1)当n =1时.①求线段AB 所在直线的函数表达式.②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k 的最小值和最大值.(2)若小明的说法完全正确,求n 的取值范围.解:(1)①当n =1时,B (5,1),设线段AB 所在直线的函数表达式为y =kx +b ,把A (1,2)和B (5,1)代入得:{k +b =25k +b =1,解得:{k =−14b =94, 则线段AB 所在直线的函数表达式为y =−14x +94; ②不完全同意小明的说法,理由为:k =xy =x (−14x +94)=−14(x −92)2+8116, ∵1≤x ≤5,∴当x =1时,k min =2;当x =92时,k max =8116,则不完全同意;(2)当n =2时,A (1,2),B (5,2),符合; 当n ≠2时,y =n−24x +10−n 4, k =x (n−24x +10−n 4)=n−24(x −n−102n−4)2+(10−n)216(2−n), 先增大当x 取92时,k 为8116,为最大,到B 为5时减小, 即在直线上A 到x =92时增大,到5时减小,当92<x ≤5时,k 在减小, 当n <2时,k 随x 的增大而增大,则有n−102n−4≥5, 此时109≤n <2;当n >2时,k 随x 的增大而增大,则有n−102n−4≤1,此时n >2,综上,n ≥109.。