二面角的平面角及求法
1．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P
﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角
的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
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（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
→→
设平面α和β的法向量分别为푢和푣，若两个平面的夹角为θ，则
→→（1）当 0 ≤＜푢，푣＞≤휋
→→→→
2，θ=＜
푢，푣＞，此时 cosθ＝cos＜푢，푣＞
=
→→
푢⋅푣
．
→→
|푢||푣|
휋
→→→→→→
（2）当푢，푣＞≤π时，θ＝cos（π―＜푢，푣＞）＝﹣cos＜푢，푣＞=―=
2＜＜
→→푢⋅푣
．→→|푢||푣|
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