1.线线平行
lm
要证线线平行，
a 只需证两个方向向
b 量平行。
l / /m a / /b a b
2.线面平行
a
l
u
l / / a u a u 0
要证线面平行，只需证方向向量与法向量垂直。
3.面面平行
u
v
/ / u / /v u v
要证面面平行，只需证两个法向量平行。
3.2立体几何中的向量方法 （一）
一、点的位置向量
空间中，取一定点O作为基点，空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。 向量OP称为点P的位置向量。
P
O
二、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
l 个定点 A 及一个定方向确定. P
a 非零向量a 叫做直线 l 的方向向量。
23 3 平面ABC的单位法向量为
(1，- 2
，2）
3 33
求平面的法向量的步骤：
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
直线上的非零向量也叫做直线的
A
方向向量
三、平Байду номын сангаас的法向量
如果向量n 所在直线垂直于平面 ，则称这个
向量垂直于平面 ,记作n ⊥ ，那 么 向 量 n
叫做平面 的法向量.
l
过一定点A,以定向量 n 为法向量的
n
平面是唯一的.
注意：
A
1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相
A
平行;
3.向量n 是平面的法向量，向量
m 与平面平行或在平面内，则有
nm 0
例 1：在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z) 则 n AB ，n AC .
∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
单位法向量。
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
则n AB，n AC
（ x，y，z）(2, 2,1) 0 （ x，y，z）(4,5,3) 0
即24xx
2y 5y
z0 3z 0
,
取z
1，得
x
1 2
y 1
n (1 , 1,1), 2
| n | 3， 2 n或- 2 n是平面ABC的单位法向量
AD1 (1,0,1) DB1 AC 0，所以 DB1 AC , 同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
所以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
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∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
∴
y z
3 4 3 2
x x
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的
(1,1/2,2 ） 且 l ，则m= 4
.
练习 1.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求证：DB1 是平 面 ACD1 的一个法向量.
证明：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC, DD1 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系 D xyz
DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
巩固性训练3
1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为
(-2,-4,k), 若 // 则k= 4
；
若 则 k= -5
。
2、已知 l //且 l 的方向向量为(2,m,1)，
平面 的法向量为(1, 1/2,2),则m= -8
.
l 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
用向量方法解决立体几何问题
因为直线的方向向量与平面的法向量 可以确定直线和平面的位置，所以我们 可以利用直线的方向向量与平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.
即利用向量来证明线线、线面的平行与垂直；
利用向量来求线线角、线面角、二面角等
1.线线垂直 l
a
bm
l m a b ab 0
要证线线垂直，只需证两个方向向量垂直。
2.线面垂直 l
a
u
l a / /u a u
要证线面垂直，只需证方向向量与法向量平行。
3. 面面垂直
v
u
u v uv 0
要证面面垂直，只需证两个法向量垂直。
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) (2)a (1,2,2),b (2,3,2) (3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行 垂直 平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交