北京邮电大学2014—2015学年第 2 学期
《电磁场与电磁波》期末考试试题（A 卷）
一、 （10分，每空1分） 填空题
1. 设J 为电流密度矢量，则(',',')x y z ∇⨯=J 。

2. 描述了电磁场的变化规律，以及场与源的关系。

3. 根据麦克斯韦方程组，时变电场 旋 散，电场线可以闭合，也可以不闭合；时变磁场 旋 散，磁感线总是闭合的。

（注：可选择填写“有”或者“无”）
4. 分离变量法可应用于直角坐标、圆柱坐标、球坐标等坐标系下。

同一个问题，在不同的坐标系里求解会导致一般解的形式不同，但其解是 。

5. 在相对介电常数为4，相对磁导率为1的理想介质中，电磁波的波阻抗为 。

6. 平面波()()
sin 2cos z m y m E t kx E t kx ωω=-+-E e e v v v
的传播方向为：
；其极化形式为： 。

答案：
1. 0；
2. 麦克斯韦方程组；
3. 有，有，有，无；
4. 唯一的；
5. 60π 377/2Ω或者
6. x 方向传播，右旋椭圆极化波；
二、（14分）如图1所示，一半径为R 的导体球上带有电量为Q 的电荷，在距离球心D （D > R ）处有一点电荷q ，求：
（1）导体球外空间的电位分布； （2）导体球对点电荷q 的力。

q
(,)
p r θ
A
图1 题二图
解：（1）导体电位不为零，球外任一点P （到球心O 距离为r ）的电位ϕ可分解为一个电位为V 的导体产生的电位ϕ1，以及电位为零的导体的感应电荷q ′与点电荷q 共同产生的电位ϕ2。

ϕ = ϕ1＋ϕ2。

q ′与可用镜像电荷代替，电位ϕ1由放在球心的-q ′与Q 产生。

利用球面镜像得
2
',R R q q d D D
=-=…………………………3分
1200102
00102
,4π4π4π4π4π4πQ q q q r r r Q q q q r r r ϕϕεεεϕεεε''-==+
''-=++
……………………5分
因此，导体球外任一点的电位为
42
221/2
2
1/2
021(4π(2cos )(2cos )DQ Rq qR
q
R R Dr
r D rD D r r D D
ϕεθθ+=
-+
+-+-
…………………………8分
导体球的电位为
004πDQ Rq
RD
ϕε+=
……… …………………10分
（2）点电荷q 所受到的力为'Q q -和'q 对点电荷q 的力，即
''322222222
00(2)
[][]4π()4π()Q q q q q R q R D f Q D D d D D D R εε--=+=+--
…………………………14分
三、（14分）相对磁导率为r 1μ=的理想介质中传播电场瞬时值为
:8(,)30)cos[3π10π()]x z r t t x =+⨯-E e V/m 。

试求：
（1）该波的波长；
（2）理想介质的相对介电常数； （3）该波的坡印亭矢量平均值。

解：（1）由题意知，8=3π10ω⨯，8=1.510f ⨯ 因为
=π()k e e k x z k =，=2πk ，故波长为
2π
1k
λ=
=m …………………………3分 （2）因为22k ωμε=，因此
8
8
2π310/(23π10
k ⨯⨯===⨯ 故介质的相对介电常数：r ε＝4。

…………………………6分
（3）根据复数形式的麦克斯韦第二方程得
-j π()
001e j j 0
e e e E H =e x
y z
x y x
z
x
y z E E ωμωμ∇⨯∂
∂∂
=
=
---∂∂∂ A/m
…………………………10分
因此，坡印亭矢量平均值为
*-j π()
jπ()
av 11
Re Re[30)e (e )]
2215π()
E H e e e x x x z y x z S ⎡⎤=⨯=+⨯-⎢⎥⎣⎦= W/m 2
…………………………14分
四、（10分）设理想介质中平面电磁波的形式为0cos()x E t kz ω=-E e 。

证明其平均电能密度和平均磁能密度相等。

答：平均电能密度：
2222
2
0011111
()()44444
x y y
e m E w E E H
H w μεεεηεμηε
=====
=。

得证。

…………………………10分
五、（14分）已知导电媒质中，衰减常数和相移常数，以及损耗角正切的表
达式为：α=
，β=，tan σ
δωε=。

设工作在频率810Hz 下的半径为2mm 的金属圆导线（相对磁导率和相对介电常数都等于1），如果其电导率为710S/m σ=，试：（1）计算其表面电阻率和单位长度的交流、直流电阻；（2）从原理上对比、分析单位长度的交流与直流电阻的不同。

解：（1）对工作在频率810Hz 下的金属圆导线而言，其损耗角正切为
7
8-9
1011102π1036σωεπ
=>>⨯⨯⨯…………………………3分 显然，该金属属于良导体。

因此，其表面电阻率为
3
s 2π10R -=
=⨯Ω…………………………6分
另外，该金属的趋肤深度为
1
2mm δα
=
=
<<…………………………8分 因此，对于圆导线而言，其单位长度的交流电阻为
3
ac s 3
12π100.52π2π210R R a --⨯===Ω⨯⨯…………………………9分
最后，该导线单位长度的直流电阻为
dc 73211110π(210)40π
R S σ-=
==Ω⨯⨯⨯…………………………10分
（2）表面电阻率（交流电阻率）相当于厚度为c δ、电导率为σ的导体的单位长度的直流电阻。

和直流电阻情况下电流均匀分布在导体截面上不同，趋肤效应影响下的电流会集中分布在靠近良导体表面的有限区域内，因此其表面电阻（交流电阻）通常都会大于其直流电阻。

…………………………14分
六、（14分）一圆极化平面电磁波由空气（x < 0）垂直投射到x=0的理想导体表面上，已知入射电场为：j 0(j )e x y z E β-+E =e e
试求空气中的电场，并讨论总场的性质、入射波和反射波的极化类型。

解：由于电磁波由空气垂直投射到理想导体表面上反射系数为-1，反射波沿-x 轴传播，因此，反射电场为：
j (j )e x r y z β=-+E e e ………… ………………4分
故总场为
-j j 1(j )e (j )e (22j )sin x x y z y z z y x βββ=+-+=-E e e e e e e …………………8分
入射波为左旋圆极化波，反射波为右旋圆极化波；总场为驻波，没有能量的传输。

…………………………14分
七、（12分）矩形波导尺寸为30mm ×15mm ，中间为空气，求单模传输的频率范围。

解：单模传输时，波长和波导尺寸的关系为
，
…………………………5分
由此得
，
…………………………10分
故单模传输的频率范围为。

…………………………12分
八、（12分）已知空气中电偶极子的辐射场如下所示，求其远区场的表达式，并
讨论远区场的性质。

()()()()3j 2303j 2302cos 1j e 4πsin j 1j e 4π0kr r kr Ilk E kr kr Ilk E kr kr kr E θφθωεθωε--⎧⎡⎤⎪=-⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎪
=+-⎢⎥⎨⎢⎥⎪⎣⎦
⎪
=⎪⎪⎪⎩
答：远区场的条件：r ?
λ，即1kr ?，故
()
()
2
3
1
1
1
kr
kr kr ??
……………………3分
2j j j 00sin sin sin j e j ()e j e
4π2λ2λkr kr kr Il Ilk Il k
E r r r
θηθθθωεωε---=⋅=⋅=⋅j j sin sin j
e j e 4π2λkr kr Ilk Il H r r
φθθ--=⋅=⋅ 其他场分量为零。

…………………………9分
远区场是横电磁波（TEM 波），
0120πE H θ
φ
η==Ω；远区场的幅度与源的距离r 成反比；远区场是辐射场；远区场是非均匀球面波；远区场分布有方向性。

（注：在性质中答对以上几点中的3点即为正确）
…………………………12分。