作业1（随机过程的基本概念）
1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程
1,()()0,()X t x
Y t X t x
≤⎧=⎨
>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。
2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明
{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。
3、设{(),0}W t t ≥是参数为2
σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；
（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；
（3）2{(),0}t
aW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1
{(),0}tW t t
≥
作业2（泊松过程）
1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，
(()|())()(1),0,1,,k k
n k n s s P N s k N t n C k n t t
-===-=
作业3 （更新过程）
1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则
(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。
2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。
如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。
3 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 的概率密度函数是
(),()0,
,x e x f x x αβαββ--⎧>=⎨≤⎩
求((t))P N k ≥。
4 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = ，()N M t t λ=是它的更新函数，求
1
[exp()],0n
k k E t X t =->∑。
5设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 的概率密度函数是
2,0
()0,0
t te t f x t λλ-⎧>=⎨≤⎩
求更新函数()N M t 。
作业4（Markov 过程）
一、计算题
1、设{,0}n X n ≥是齐次Markov 链，其状态空间{,,}E a b c =，一步转移概率为矩阵为
1/21/41/42/301/33/52/50⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求（1）12340(,,,|)P X b X c X a X c X a =====； （2）2(|)n n P X c X b +==。
2、考虑一个质点在直线上作随机游动，如果在某一个时刻质点位于状态i ，则下一步将以概率(01)p p <<向前移动到达1i +，或以1q p =-向后移动到达1i -，以n X 表示n 时刻质点的位置，且在0时刻从原点出发，则{,0}n X n ≥显然是一个Markov 链。
求 （1）写出状态空间E ；
（2）求一步转移概率矩阵； （3）求n 步转移概率矩阵。
3、设齐次Markov 链{,0}n X n ≥的状态空间是{1,,7} ，状态转移矩阵为
001/201/201/31/31/3000000100001/3000
002/301000001/20
00001/20003/40
1/40P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
（1）对状态空间进行分解；
（2）求平稳分布。
4、设齐次Markov 链{,0}n X n ≥的状态空间是{1,2,3}，状态转移矩阵为
000
q
p P q
p q
p ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中(01)p p <<，1q p =-，问该Markov 链{,0}n X n ≥是否为遍历链，为什么？若是，求极限分布。
5、设Markov 链{,0}n X n ≥的状态空间是{1,2,} ，转移概率矩阵为
1122331000
100010001000k k p p p p p p P p p -⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥
-=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢
⎥⎣⎦
其中1/,1,2,k k p e k -== ，判断状态1的性质。
6、某厂的商品销售状态可分为三个：分别用1，2，3表示滞销、正常和畅销，经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化与初始时刻无关，状态转移概率矩阵为
1/21/2
01/31/95/91/62/31/6P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
试对经过长时间后的销售状况进行分析。
二、证明题
1、设,1,2,k Y k = 为相互独立的随机变量，证明 （1）{,1,2,}k Y k = 是Markov 链；
（2）1
{
,1,2,}n
k k Y n ==∑ 是Markov 链。
2、设{(),0}X t t ≥是状态离散的平稳的独立增量过程，且(0)0X =，证明{(),0}X t t ≥是Markov 链（注意，连续时间）。
3、设Markov 链{,0}n X n ≥的状态空间是{0,1,2,} ，转移概率为
0,10000,1,1,2,,i i i i p p p i p p -=>===
证明
（1）Markov 链{,0}n X n ≥是常返的不可约的； （2）Markov 链{,0}n X n ≥是零常返的充分必要条件是
1
1n n np
∞
-==∞∑；
（3）Markov 链{,0}n X n ≥是正常返的充分必要条件是
1
1
n n np
∞
-=<∞∑，且此时的平稳分布
为1
11,0,1,n n i n n p i np π∞
=∞-=⎧⎫
⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑∑ 。
4、证明：若状态空间的元素个数为n ，且状态j 可由状态i 到达，则状态i 最多用n 步到达状态j 。