代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一）、一元二次方程的根的判断式∆一元二次方程20 (0)a xb xc a ++=≠，用配方法将其变形为：(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2(3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+=2(12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+=2(6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=- (1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=； (3)310124≤⇒≥-k k ；(4) 310124>⇒<-k k ．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -． 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -==== 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．*【例5】一元二次方程042=+-a x x求a 的取值范围。

解一：由⎩⎨⎧<-->∆0)3)(3(021x x 解得：3<a解二：设)(x f a x x +-=42解得3<a*【例6】 已知一元二次方程5)9(222-+-+a x a x 根大于2，求a 的取值范围。

解：设65)9()(222+-+-+=a a x a x x f则只须⎩⎨⎧<<0)2(0)0(f f ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<38132a a ∴ 382<<a 【例7】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k的值．(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5．(2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【例8】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k kk +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <， 要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．一元二次方程根与系数专练1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12 D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ． 6．设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．7．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由．8．一元二次方程02)13(722=--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<<<x x , 求m 取值范围。

9．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． 10．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 若该方程的两根是一个矩形相时，求k 的值．11．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．12．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若1212x x =，求k 的值．。