2010 级高等数学（1）试卷 一．填空题（每小题 3 分，总计 24 分 ） 1． 设 f ( x) e x , f ( ( x)) 1 x, ( x) 0，则 ( x)= 。 2． 曲线 y 程为 3． 已知当 x
2
定义域为
1 ln(1 e x ) 的水平渐近线方程为 x 。
1
，垂直渐近线方
则常数 a (1 ax 2 ) 3 -1与ln(1-x 2 ) 是等价无穷小， 0 时，
1、 lim(1
(1
1 ) n2
。
。
3、计算 lim n 1 2n 3n
n
。 。 。 。 。
4、设 y
5、设 y
x x ,则 dy
f (x
y) ,其中 f 二阶可导,则 y =
6、设 g ( x) 7、求曲线
f (ln x)e f ( x ) , f 一阶可导，求 g (1)
x t sin t , 在t y 2 cos t
2 2．求极限 lim x
3
x
x 2 2 x 1
x 。
3. 设 y
x 2e2 x , 求 y ( 20) 。
4. 求函数
f ( x) ( x 1) x
x 2
2 3
的极值。
四． （7 分）证明 0
时, 成立不等式
sin x x
2
。
五． （7 分）设曲线的参数方程为
dy d 2 y x ln 1 t 2 ,求 和 2 。 dx dx y arctan t
。
3、设 f ( x)
,
）上连续，则常数 a =
。
4、设 y
3 tan(x
2
1)
,则 dy
f (ln x) ,则 y =
y
。 。
5、设 f ( x) 存在，函数 y
6、设函数 y
y( x) 由方程 e x
xy 1所确定，求
4
dy dx
。
x 0
7、求曲线
x
ln 1 t 2 在t y arctan t
x 在点 x
0 处（
（A）可微； （C）无切线；
（B）不连续； （D）有切线，但该切线的斜率不存在． ）
3. 以下结论正确的是（
（A） 函数 f ( x) 的导数不存在的点，一定不是 f ( x) 的极值点； （B） 若 x 0 为函数
f ( x) 的驻点，则 x 0 必为 f ( x) 的极值点；
y x 由方程 x y e x e y
0 所确定， 则
2
dy dx
x 0
d2 y ， 2 dx
。
x 0
7．曲线 8．曲线 y
x t2 1 y t3 t
在 t 1 所对应的点处的切线方程为
。
xe x 的拐点坐标是
。 。 ,b 。
9．写出 f ( x) 10．设 f ( x)
tan x 的带佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式
。
4．设 f (0) 0, f (0) 1, 则 lim
h 0
f (eh 1) h
。 。
1 ln[ f (1) f (2) f (n)] n n2 d 1 2 1 6．设 ( f ( 2 )) 。 ,则 f ( ) dx x x 2 f ( x) 7．设 f ( x) 在 x 2 处连续，且 lim 1, 则 f (2) x 2 x 2
六、 （4 分） 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， 又b
a
求证： , 0。
(a, b)
使得 f ( )
b f ( ) a 。 b a ln
2013 级高等数学（1）试卷 一．填空题（每小题 4 分，总计 40 分 ）
1 1 )(1 2 ) 2 n 2 3 3x 1 x 2、计算 lim( ) = x 3x 1
（C）若函数 f ( x) 在 x 0 处有极值，且 f ( x0 ) 存在，则必有 f ( x0 ) 0 ； （D）若函数 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 f ( x0 ) 一定存在。 4. 函数 y
x arctan x 在区间 (
,
) 内（
）
（A）单调减少； （C）不单调； 5. 若 lim
y( x) 在点 (0,1) 处
四． （7 分）设函数 y 的法线方程。
y( x) 由方程 y xe y
五． （8 分）设曲线的参数方程为
x y
a(ln tan a sin t
t cos t ) dy d 2 y ,求 和 2 。 2 dx dx
六.(8 分) 设 f ( x)
1 cos x ,x 0 , 讨论函数 f ( x) 在 x 0 点的连续性和可导性。 x 2 x xe , x 0
(1, e), 使得 sin1 cos ln .
六.（4 分）试证至少存在一点，存在
2012 级高等数学（1）试卷 一．填空题（每小题 4 分，总计 40 分 ） 1、 lim
x 1
5x 4 x 1
x
x
。
2、计算 lim (
2x 3 x 1 ) = 2x 1
3 sin( x 1) , x 1 在( x 1 e ax 1, x 1
2．写出 f ( x) sin x ln(1 x) 的带佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式。
1
3. 设 f ( x)
1 x , 求 f ( n ) ( 1) 。 1 x
1 x x x 0
4．求极限 lim(2sin x e ) 。 5. 设 y
ax
xn
xsin x
,求 d y 。
1 所确定，求曲线 y
f ( x) 的拐点；
,
) 上连续， xlim f ( x) 0 ，则常数 a, b 满足
3
（A） a （C） a
0, b 0, b
0； 0；
（B） a （D） a
0, b 0 ； 0, b 0 。
三．解答下列各题（每小题 6 分，总计 24 分 ） 1．设函数 f ( x)
2 1 e
1 x
sin x , 求极限 lim f ( x) 。 x 0 x
x 1 x 1 x 1
（C） lim f ( x) 存在， lim f ( x) 不存在； （D） lim f ( x) 不存在， lim f ( x) 存在
x 1 x 1 x 1 x 1
3、下列极限正确的是[ ] sin x （A） lim 1； x x 1 1 （C） lim sin 不存在； x x x 4、 设方程 x n
的增量， y 与 dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 x 0, 则 (A) 0< y <dy ； 2 当x
0 时，函数
(B) 0<dy
y ； (C)
y <dy <0 ；
(D) dy
y <0 。
1 1 cos 是 2 x x
(B)无穷大； (D)无界的，但不是无穷大。
(A)无穷小； (C)有界的，但不是无穷小；
x 0
1 x sin x 1 x2
x x a 2 ) x 1
。
2．设 lim(
x
e3 , 则常数 a f ( x) 2 x 3 x2
。
3．设 f ( x) 是多项式, 且 lim
x
2, lim
x 0
f ( x) x
3 , 则 f ( x)
。 。
。
4．设函数 y
1 2ln 2 x ,则导数 y
5．设 y sin x x cos x , 则 dy 6． 设y
ae2 x , x 0 在x b ln(1 x) 3, x 0
0 处可导，则 a
二．选择题（每小题 3 分，总计 18 分 ） 1. 设函数 f ( x) 在点 x 0 处连续，则函数 f ( x) 在点 x 0 处（ （A）必可导； （C）可导与否不确定； 2. 曲线 y
3
）
（B）必不可导； （D）可导与否与在点 x 0 处连续无关。 ）
3。
（A） f (2)
f ( x)
（B） f ( x) 在 x 3；
2 的某去心邻域中，
（D）在 x 4；
2 的某去心邻域中， f ( x)
1 1
2、设 f ( x)
x2 1 x e x 1
，则下面结论正确的是[
]
（A） lim f ( x) 存在，但 f ( x) 在 x 1处不连续；
x 1
（B） lim f ( x) 和 lim f ( x) 存在，但 lim f ( x) 不存在；
5．设函数 f ( x) 3x , 则 lim 8．函数 y
， f (2) ，曲线的拐点坐标是
。
ln(1 x 2 ) 的下凸区间是
和 。 二．选择题（每小题 3 分，总计 9 分 ） 1． 设函数 y 且 f ( x) 0, f ( x) 0, x 是自变量在点 x0 处 f ( x) 具有二阶导数，
1 ，则[ 2
（B） f (1) 为 f ( x) 的极小值；
（C） (1, f (1)) 为曲线 y
f ( x) 的拐点；
（D）以上都不对。
三．解答下列各题（每小题 6 分，总计 24 分 ） 1、求 lim
x 0
sin x tan x (3 1 x 2
0
1)( 1 sin x 1)
。
2、计算 lim (
1
1 点处的切线方程
。
8、曲线 y 9、曲线 y
x 3 的拐点坐标是
。 。 。
arctan x 的上凸区间是
10、写出 f ( x)
x 2 e x 的带佩亚诺余项的 n 阶麦克劳林公式