四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇适用班级： 理工科本科考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰--为( B )(A) c e F x+)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x 。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( D )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→xx x 11lim20_0____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

6．曲线2332x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 .三、设0→x 时，)(22c bx ax e x ++-是比2x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）)23cos(x ex x-+-,求dy .（6分）e e xy y=+确定,求22=x dx yd .（8分）)x 满足关系式33)3()(30-+=⎰x dt tf x f x，求)(x f .(8七、 求下列各不定积分（每题6分，共12分） （1） ⎰-θθd )sin 1(3.（2） ⎰xdx x arctan .八、设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(2x x x x x f 求定积分⎰2)(dx x f .（6分）九、讨论函数313)(x x x f -=的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分）十、求方程4yx ydx dy +=的通解（6分）十一、求证：).2,0(,2sin ππ∈>x x x .（5分）07-08学年第一学期高等数学（上）理工科（A ）卷参考答案及评分标准一、选择题（每题3分，共15分）1．C 2.B 3.D 4.B 5.D二、填空（每题3分，共18分） 1．0 ， 2.73-=x y ， 3.2,1223221()2(21c c e x x e c e c y xx x+-+=为任意常数），4. 2 ， 5.k 18.0 6.328。

三、解：[]10)(202lim =∴=++-→c c bx ax ex x……….2分0)2(lim ......0)(lim 220220=--∴=++-→→x b a e xc bx ax e x x x x ……..4分 01..==∴b a ………………………………………..6分 四、解：)23sin(2)23cos(112x e x e x y x x -+---='--………4分dx x e x e x dy x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=∴--)23sin(2)23cos(112……….6分五、解：0=++dx dy e dx dy xy y yex ydx dy +-=∴………………3分 edxdyy x x 11,00-=∴=== 222)()1()(y y y e x y dx dy e dx dy e x dxyd ++-+-=∴…………….6分 222,0-==∴e dxyd x 时…………………….8分六、两边求导 3)(3)(+='x f x f …………..3分c ce x f x (1)(3-=∴为任意常数）…………6分3)0(,0-==f x 12)(3--=∴x e x f ………..8分七、解：（1）⎰-θθd )sin 1(3.⎰⎰-+=θθθcos )cos 1(2d d ……..3分c +-+=θθθ3cos 31cos …………………….6分 （2）⎰xdx x arctan dx x x x x ⎰+-=222121arctan 21……3分 c x x x x ++-=arctan 2121arctan 212……………….6分 八、解：⎰20)(dx x f dx x dx x 2102121)1(⎰⎰++=…….2分=38……………6分九、解,10)(32)(1)(3532±=='=''-='--x x f x x f xx f 得由 0)(='x x f 不存在（3分）2)1(2)1(0)0(==-=f f f ……………….7分(][)[].1,1,,11,)(上单减在上单增与在-∞+-∞-∴x f 1-=x 时有极大值2，,1=x 有极小值2-。

在(]0,∞-上是凸的，在[)+∞,0上是凹的，拐点为（0，0） (10)分十、解；()、的通解为对应齐次方程cy x x ydy dx y x ydy dx ==∴+=11..... (1)3…………………..3分设方程（1）的解为y y u x •=)(代入（1）得1331)(c y y u +=………5分 y c y x 1431+=∴…………………….6分 十一、证明： 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=2,0,2sin )(ππx x x x f ………………1 分 x x f x x f sin )(,2cos )(-=''-='π又0)(),2,0(<''∈x f x π…..3分)(x f ∴ 的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

0)2()0(==πf f ，所以0)(),2,0(>∈x f x π………….5分。

四川理工学院试卷（2005至2006学年第一学期）课程名称：高等数学 出题教师：岳健民适用班级：本科多学时（不含职教）一、 单项选择题（15分，每小题3分）1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点），（b a ∈ξ使（ ）成立。

（A ）0=）（ξf （B ）0='）（ξf（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -⋅'=-ξ 5．广义积分)0(>⎰∞+a dxax p当（ A ）时收敛。

（A ）1>p (B)1<p (C)1≥p (D)1≤p二、填空题（15分，每小题3分）1、 若当0→x 时，22~11x ax --，则=a 2 ；2、设由方程22a xy =所确定的隐函数)(x y y =，则=dy ；3、函数)0(82>+=x xx y 在区间 单减；在区间 单增；4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ 1/2 ；5、若dx x f dx x xf a ⎰⎰=10102)()(，则=a 2 ；三、计算下列极限。

（12分，每小题6分）1、xx xx )1(lim +∞→ 2、 200)1(lim xdte xt x ⎰-→四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、241x y -=，求y ' 2、⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2 ，求22dx y d五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、dx xxx ⎰+++21arctan 1 2、dx x x ⎰--223cos cos ππ3、设dt ttx f x ⎰=21sin )(，计算dx x xf ⎰10)(六、讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=2,22,cos 2)(ππππx x x x x x f 的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分）七、证明不等式：当0>x 时，2)1ln(2x x x ->+ （7分）八、求由曲线)1(2,4,22≥===x x y x y xy 所围图形的面积。

（7分）九、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导且0)0()1(==f f .证明：至少存在一点)1,0(∈ξ使)()(ξξf f '=四川理工学院试题（A ） 参考答案及评分标准（2005至2006学年第一学期）课程名称：高等数学一、单项选择题（15分，每小题3分） 1.B 2.A 3.C 4.A 5.A二、填空题（15分，每小题3分） 1. a=2 2.dx xy2dy -= 3. (0, 2)单减，（2，+∞）单增。