2.1.2 指数函数及其性质（一）一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。

二、问题引领：1、指数函数的概念、图象和性质2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。

三、典例剖析：例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。

分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。

根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。

解： ()x a x f =的图象经过点()2,π，()2f π∴= 即2a π=，解得12a π=()2x f x π∴=，即：()()()1012101,12f f f ππππ-====-==。

点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。

例题2：1、设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求,,a b a a a b 的大小关系。

2、 比较23540.5,1.2,1的大小。

分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。

解：1、因为函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，又由1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以得：01a b <<<，因为当01a <<时，函数xy a =为减函数，又a b <，所以a b a a >，因为函数x y a =与xy b =在R 上同为减函数且当0x >时，随着x 的增大，函数x y a =比函数xy b =减小的快，所以a aa b <，即b a aa ab <<。

2、因为函数0.5x y =在R 上为减函数，所以20500.50.51<<=，又因为函数1.2xy =在R 上为增函数，所以3041.2 1.21>=，即23540.51 1.2<<点评：涉及到无理数和超越数的大小比较，一般需根据这些数的构成特点，寻求某个函数作模型，然后将各数统一到这个模型中，利用函数单调性比较大小。

若底数相同，指数不同时，则可直接利用指数函数的单调性比较大小。

若底数不同，指数相同时，则可利用指数函数的图象分布规律进行比较大小。

若底数不同，指数也不相同，则常借助0，1等中间量进行比较。

例题3：对任意实数x ，求函数213531x x y -=+⋅+的值域。

分析：将函数分解成指数函数和二次函数的复合函数，分别利用指数函数的值域和二次函数的单调性求值域。

解：()()253313xx y =+⋅+=25113636x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 令3(0)x t t =>，因为2511636y t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在()0,t ∈+∞为增函数，所以函数213531x x y -=+⋅+的值域为()1,+∞。

点评：本题考查与指数函数有关的复合函数()()2(0,1)xx y k am a n a a =++>≠求值域问题,常用换元法,其步骤:1、换元，令(0)xt a t =>2、得二次函数2(0)y kt mt n t =++>，3、由二次函数2(0)y kt mt n t =++>的单调性求y 的范围。

四、自我测评：（一）、选择题：1、下列函数中（1）22x y =（2）2xy =（3）22xy =（4）32x y =⨯（5）21xy =-（6）y =）A 0B 1C 2 C 3 2、 数3xy =-的图象（ ）A 与3x y =的图象关于y 轴对称B 与3xy =的图象关于坐标原点对称C 与3xy -=的图象关于y 轴对称 D 与3xy -=的图象关于坐标原点对称 3、 下列函数能使等式()()()f a b f a f b +=∙恒成立的是（ ）A y kx b =+B x y a =C 2y ax bx c =++D k y x= 4、 已知函数1x y a -=的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标是（ ）A （1，1）B （1，4）C （1，5）D （0，1） （二）、填空题： 5、指数函数()y f x =的图象过点()1,3，则()1f f ⎡⎤⎣⎦= 。

6、函数y =的定义域为 。

7、设()142(0)xx f x x +=-≥，又()0f a =，则a 的值为 。

8、函数21x y =-的图象一定不过 象限。

（三）、解答题： 9、()(),(5)2(5)x a x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()0,1a a >≠且已知()816f =，求a 的值。

10、已知0.70.7a =，0.33b =，334c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，123d =，比较,,,a b c d 的大小。

11、若函数()f x 的定义域是()0,1，分别求函数()3x f -和函数()121x f --的定义域。

12、求函数29231x x y a a =+⋅+-的值域。

§2.1.2 指数函数及其性质（一）自我测评答案一、 选择题：1、C 2、D 3、B 4、A二、 填空题：5、27 6、[0,)+∞ 7、1 8、二或四 三、解答题：9、解：()()()4864162f f f a a ====∴= 10、解：0.7x y = 在R 上是减函数0.7000.70.71∴<<<又3xy =在R 上是增函数00.3133∴=<且10.32133b d <=<=3304c ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，即c a b d <<<11、解：()f x 的的定义域是()0,1，00313x-∴<<=，又3x y =在R 上是增函数，0x ∴>即 函数()3x f -的定义域为()0,+∞同理，由10211x -<-<，0112122x -=<<，2x y = 在R 上是增函数，12x ∴<<即函数()121x f --的定义域为()1,212、解：设3xt =()0t >，则()2221y f t t at a ==++-（1）当0a -≤即0a ≥时，函数()f t 在()0,+∞上为增函数，因此，21y a >-，此时，所求函数的值域为()21,a -+∞。

（2）当0a <时，函数()f t 在(0,]a -上为减函数，在[,)a -+∞上为增函数，当x a =-时，222min 211y a a a =-+-=-，无最大值，此时，所求函数的值域为[1,)-+∞。

§2.1.2 指数函数及其性质（二）一、学习目标：理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些简单的问题。

本节课的重点是指数函数单调性的应用，本节课的难点是理解底数a 的值对指数函数单调性的影响，体会数形结合、分类讨论、化归等数学思想。

二、问题引领：1．指数函数的单调性与底数a 的取值有关，因此我们常常要对a 分 和 两种情况讨论。

2．指数函数的单调性：（1）当a ＞1时，函数y =a x在定义域R 上为 ； （2）当0<a ＜1时，函数y =a x 在定义域R 上为 。

3．函数()y f x =在区间D 上是增函数，（1）当1a >时，()f x a 在D 上为 ；（2）当01a <<时，()f x a 在D 上为 。

三、典例剖析：例题1：写出函数232)31(++=x x y 的递增区间分析：题中函数由u y )31(=与232++=x x u 复合而成，因为u y )31(=是减函数，所以，函数232++=x x u 的减区间为y 关于自变量x 的增区间。

解法一：设函数的递增区间为D ，任取D x ∈1，D x ∈2，且21x x <，又0)31(232>++x x ，则有1)()(21≤x f x f ，对D x x ∈∀21,恒成立， 要使1)31()31()31()3()31()3)(()](3[)2323(23232121212221222121222121≤===++--+----++++++x x x x x x x x x x x x x x x x ，对D x x ∈∀21,恒成立。

又xy )31(=，当0≥x 时，恒有10≤<y 成立，∴需有 0)3)((2121≥++-x x x x 又21x x < 即 021<-x x即需0321<++x x 对D x x ∈∀21,恒成立。

当231-≤x 且 232-≤x 时，都有，0321≤++x x 对D x x ∈∀21,恒成立， ∴所求递增区间为3(,]2-∞-解法二：令232++=x x u ，则41)23(2-+=x u ，当]23,(--∞∈x 时，41)23(2-+=x u 是减函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，此时，函数232)31(++=x x y 是增函数，所以，所求递增区间为（23,-∞-）。

点评：1．用定义法寻求函数的增区间（减区间），即寻求某一个区间D ，对于任意D x ∈1，D x ∈2，且21x x <，恒有0)()(21<-x f x f (12()()0f x f x ->)成立。

2．复合函数()x g a x f =)(问题，通常用换元法，令()t g x =，将它化归为基本初等函数(),ty a t g x ==，利用复合函数的单调性来解决，但要注意定义域的限制，掌握这种化归的思想方法。

例题2：对于函数xm x f 211)(+-= )(R m ∈1） 探索函数)(x f 的单调性。

2） 是否存在实数m ，使函数)(x f 为奇函数？分析：探索函数的单调性，可以直接用定义法，也可以借助复合函数的单调性判断。

（1）解法一：由题可知)(x f 的定义域为R ，任取，R x ∈1，R x ∈2，且21x x <，则，)21)(21(22211211)()(12212121x x x x x x m m x f x f ++-=++-+-=- x y 2=在R 上是增函数 ∴2122x x < 即 02221<-x x又 0211>+x 0212>+x∴0)()(21<-x f x f 即 )()(21x f x f < ∴)(x f 在R 上为增函数解法二：令x t 21+=，R x ∈，02>x，121>+x ，则 tm y 1-=xt 21+=在定义域R 上为增函数，tm y 1-=在()0,t ∈+∞上是增函数所以，)(x f 在R 上为增函数。