第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的： 教学重点和难点：§ 1第一类曲线积分的计算设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为z = z(t)则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a<x<b),那例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。
求 (x 2 + y 2 )ds »例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。
例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。
§ 2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。
/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。
则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy。
x = x(u,v)（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = xx v + y u y v + gj ,uZ = Z(u.v)G = Xy + y； + Zy 9则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。
V例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。
例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。
二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。
曲而S的方程为z = /（x,y）。
/（x,y）具有对尤和y的持续偏导数，即此曲面是滑腻的，且苴在XY平而上的投影为可求而积的。
则JJ 0 (x，『，Z) 〃S = Jj 0 [x, y, / (x, >-)] Jl + 代 + f； dxdy。
S心X = X(ZGV) （2）设函数0（七”乙）为概念在曲而S上的持续函数。
若曲而的方程为=z = z（u,v）令E = X： + £ + z： , F =兀儿 + 儿儿+ Z“Z八G = %； + y； + z；,则Jj0(x，”Z)〃S =卩0[兀仏巧,z(«,v)]yjEG-F2dudv。
s s例：计算JJ(x + y + z)t/S, S 是球面x2 + y2 +z2 =cr , 2>0osX = U COS V例：计算JJ N/S,貝中S为螺旋而的一部份：h- = wsinv (0<z/<d,0<v<2^)o ' z = v注：第一类曲而积分通过一个二重积分来概念，这就是为何在第一类曲面积分顶用“二重积分符“的原因。
例：l=^x2 + y2dS 9 S是球而，球心在原点，半径为§3第二类曲线积分一变力做功和第二类曲线积分的概念1.力场?(x,y) = (P(x,y) , 0(忑刃)沿平面曲线厶从点力到点8所作的功。
先用微元法，再用概念积分的方式讨论这一问题，得W=[ F di.J AB2.第二型曲线积分的概念概念1设厶是一条滑腻或逐段滑腻曲线，且设f(x.y,z)是槪念在厶上的有界函数，将厶沿肯泄方向从起点A开始用分点4(兀,力,召)分成"个有向弧段44+1 ,直至终点且设心产心厂齐。
在每一弧段44+1 上任取一点EG，%©)，作和式： b=左 / 化)a=iy G, a，G a。
J-l z-1其中州(西，牙，乙J为起点A，A+I(X”+I，)'”+I，Z”+I )为终点B。
设2 = max|^4+1这里表示有向线段的长度。
若当几T O时，和cr有极限/,且它与厶的分法无关，也与点*的选择无关，则称/为f^y^dx沿曲线厶按所述方向的第二类曲线积分, 记作 / = J / (x, y, z yix或/ = L / (x, y, z\ix。
注：若是向量f (x, y,z) =(P(x, y, z),Q(x, y,z), R(x, y,z)),则向量沿曲线L按必然方向的第二类曲线积分为I = £ P(x,y\2)rZx + 2(x, y,Z)dy + R(x,y,z)clz,。
注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。
这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注：在平面情形下，若一人立在平而上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所用成的区域靠近这人的部份总在他的左方，则那个方向就算作正向，不然就算作负向。
这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。
二第二类曲线积分的计算设曲线自身不相交英参数方程为x = x(r). y = y(/), z = z(t) (f0</<T)o且设AB是滑腻的。
设当参数/从调地增加到丁时，曲线从点A按必然方向持续地变到点B。
设函数P(x,y,z)概念在曲线A3上,且设它在AB 上持续。
则j P(x,= J P[x(/),y(/), z(/)]x，(f)d/。
(*)注：(*)积分下限必需对应积分所沿曲线的起点，上限必需对应终点。
注：若是向量= 则向量沿曲线厶按必然方向的第二类曲线积分为Q (x, ” z)dy + R(x.y. z)dz=『{P[H/)，y ⑴,z(/)卜(/)+O[M),y(/), z(/)卜⑴+R[x(/),y(f), ?(/)”(『)}(〃例：计算积分+ + x)dy, L的两个端点为A( 1, 1 ), B( 2,3 ).积分从点A到点B或闭合，路径为(1)直线段月万：(2)抛物线y = 2(x —1)2+1：(3)折线闭合路径A(1,1)TD(2,1) T B(2,3) T A( 1, 1 )。
.例：计算积分[xdy + ydx,这里厶：(1)沿抛物线y = 2x2从点0( 0 , 0 )到点从1,2)；(2)沿直线y = 2x从点0( 0 , 0 )到点机1,2)：(3)沿折线封锁路径0(0,0) TA(1,O) TB(1,2) T 0(0,0).例：汁算第二型曲线积分I = £ xy^dx + (x + y)dy + x2dz，其中L是螺旋线x = acQSt, y = asint,乙=bt、从f =0 到 / =龙的一段。
三两类曲线积分的联系第一类曲线积分与第二类曲线积分的概念是不同的，由于都是沿曲线的积分，二者之间又有紧密联系。
二者之间的联系式为f P(x,”zM + 0(x,y,z)dy + /?(x,y,z)dzJAB= L{P(x,y,z)cos(f,x) + 0(x,”z)cos(/,y) + /?(x, y,z)cos(f,z)}心例：证明：对于曲线积分的估量式为『H/x + Q心卜厶M,(式中厶为曲线段的长度) M = maxJp2+Q20利用那个不等式估量：/…=(£. . . vJ.v-.vt/v并证明例：设平而区域D 由一持续闭曲线厶所围成，区域D而积设为S,推导用曲线积分il•算而积S的公式为：§ 4第二类曲面积分一曲面的侧的概念1.单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰着的都是双侧曲面，至于单侧曲而也是存在的，牟彼乌斯带就是这种曲而的一个典型例子。
2.曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向：曲而的上、下侧，左、右边，前、后侧.设法向疑为n = ±(cos<z, cos p, cos/),则上侧法线方向对应第三个分疑>0,即选“+”号时，应有cos/>0,亦即法线方向与Z 轴正向成锐角.类似肯泄英余各侧的法线方向.封锁曲面分内侧和外侧.二第二类曲面积分的概念先讨论由显式方程z = z(x, y)表示的无重点的滑腻曲面S ,并设S^XY平而上的投影为边界由逐段滑腻曲线T所用成的区域6?。
设选左了曲面的一侧，从而也肯泄了它的立向。
此刻将有向曲而S以任何方式分割为兀小块Si(i = 1,2・• 。
设q为S,在XY平而上的投影，从而也取得区域b取的一个相应分割。
若是取的是上侧，这时所有G,算作正的。
如取下侧，这时所有q算作负的。
设有界函数f(x,y,z)概念在st,在每一小块s,任取一点RH作和式b =其中9表示G』勺而积。
由上述所见，U是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决左的。
设心为®的致敬，记2 = max{<}o若当几T0时，・有肯定的极限/,且/与曲而分割的方式无关，也点乙的选择无关，则称/为f^y y z)dxdy沿曲而S的所选泄的一侧上的第二类曲面积分，记为/ 。
注：有时也会碰着几个积分连在一路的情形，例如：Jj P(X, y,z)dydz + Q(x. y,z)dzdx + R(x, y,z^dxdy。
s注：若是沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。
三两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算第二型曲而积分与第一型曲而积分的关系设"为曲而S 的指左法向，则P(x, y, z)dyclz. + Q(x, y, + R(x, y, z^dxdyR [p(x,y,z)cos0,x) + Q(x, y,z)cos(n, y) + R(x, y,z)cos(n,z)]flS.定理1设R(x,y,z)是概念在滑腻曲而S：z = z(x,y), (x,y)e/?vy上的持续函数，以S的上侧为正侧(即cos(仏z)>0 ), 贝I] 有，” Z)dxdy = JJ 7?(x, y, z(x, y)\lxdy类似地，对滑腻曲而S:x = x(”z),(”z)卩心在其前侧上的积分j£ P(U z)dydz = JJ P(x(” z), y, z\lydz.・%对滑腻曲而S: y = y(z,x).Ux)e 0沖在其右边上的积分J£。
(匕” z^dzjclx = JJ Q(x, y(乙x), z\hdx.计算积分Pdydz+ Qdzdx+Rdxdy时，通常分开来计算三个积分]*£ Pdydz t Qdz.dx, JJ、Rdxdy.为此，别离把曲面S投影到KT平而，Z¥平而和AT平而上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲而S的定向决定.推论设P(x,y,z)9 Q(x,y,z). R(x,y,z)是概念在滑腻曲面S ：z = Z(x.y), (x,y) e D xv上的持续函数，则Pg y. Z)dydz + Q(x, y, z)dz.dx + R(x、y, z)dxdy=[p(x，y，z) cos(", x) + Q(x, y, z) cos(", y) + R(x, y, z) cos 仇,z)”S= ±JJ [-P(x,儿z(x, y))z x(X, y) 一。