从 F ( x , y, z ) 0中能确定 x R 2 y 2 ，或 y R 2 x 2 ；
所以我们可采用框图中线路1或线路3的解题方法求解。 下面仅用线路1的方法计算。
x x （如图） 解：令 1： R 2 y 2 ； 2： R 2 y 2 。则 1 2
D xy
上侧取“+”，下侧取“–”。
( （2）设 : x x( y, z ) ， y , z ) D yz 。则
P ( x,

y , z )dydz P[ x( y , z ), y , z ]dydz
D yz
前侧取“+”，后侧取“–”。
( （3）设 : y y( z, x ) ， z , x ) Dzx 。则
二、对面积的曲面积分的性质
1. 线性性质：
[f ( x,
ห้องสมุดไป่ตู้
y, z ) g( x, y, z )]dS f ( x , y, z )dS g( x , y, z )dS

2. 可加性： f ( x, y, z )dS f ( x,
1 2
2 fds
1
三、对面积的曲面积分的计算方法
方法：化为二重积分计算
关键：找到投影区域D,确定二重积分的积分变量
一般有三种方法，究竟利用哪种方法取决于 的方程
F ( x, y, z ) 0 中哪个变量能用其它另外两个变量的显示形式
表示，若 的方程既可化为 z z( x , y ) ，又可化为 x x( y , z ) 或 y y( z , x ) ，则我们可从三种方法中取优。
1．定义
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy

lim P ( i , i , i )( S i ) yz Q( i , i , i )( S i ) zx R( i , i , i )( S i ) xy
1
关于xoy面对称，R为z的偶函数 关于xoy面对称，R为z的奇函数
三、对坐标的曲面积分的计算方法
1．直接投影法（化为二重积分）
( （1）设 : z z( x, y ) ， x , y ) D xy 。则
R( x,

y , z )dxdy R[ x , y , z( x , y )]dxdy
Q( x,

y , z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
右侧取“+”，左侧取“–”。
2．高斯（Gauss）公式计算法
P Q R x y z dxdydz
P Q R x y z dxdydz


f ( x , y , z )dS

D yz
f [ x( y , z ), y , z ] 1 x 2 x z2 dydz y
( （3）若 : y y( z, x ) ，z , x ) Dzx 。


f ( x , y , z )dS

Dzx
2 f [ x , y( z , x ), z ] 1 y z2 y x dzdx
（1）求 1和 2在 yoz平面上的投影区域：
因 1和 2在 yoz平面上的投影区域相同， 设为 D yz ： R y R ， z H 。 0

1
H
z

2
o
x
R
R
y
（2）求微元 dS ：在 1和 2 上，
dS 1 ( x 2 x ) ( ) 2 dydz y z R R y
2 2
dydz
（3）转化为二重积分：
dS dS ( ) 2 x 2 y 2 z 2 x y 2 z 2 1 2
2
D yz
R (R z ) R y
2 2 2 2
dydz
2R
R R
dy R y
2 2


H 0
dz R2 z 2
五、对坐标的曲面积分的解题方法
I Pdydz Qdzdx Rdxdy

解题方法流程图
Yes
封闭
No
确定

求 的方向 余弦
Yes
为平面块
No
应用Guass公式
对 补上特殊 ' 曲面 在封闭曲面 '
确定 的侧
P Q R I ( )dv x y z
注： 本题亦可框图中线路1或线路3的解题方法来求解。
【例2】
dS 计算曲面积分 2 2 2 ，其中 为 x 2 y 2 R 2 x y z
在 z 0与 z H 之间的部分。
2 2 2 2 2 x2 分析 因为 ： y R ，即 F ( x, y, z ) x y R 0 ，
Pdydz Qdzdx Rdxdy

或
( P cos Q cos R cos )dS

cos 这里 是 的外侧边界， , cos , cos 为曲线 上点 ( x, y, z )
处的法向量的方向余弦。
3．转化为第一型曲面积分计算法
面 上应用Gauss公式，并计算在曲面 上的积分，最
后将上面二积分相减，便得原曲面积分的值，即
I ( ) Pdydz Qdzdx Rdxdy

另一种方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来
计算，即直接计算方法。
六、对面积的曲面积分典型例题
I x ( y 2 z 2 ) ( x , y , z )dS

I y ( x 2 z 2 ) ( x , y , z )dS

I z ( x 2 y 2 ) ( x , y , z )dS

对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）
一、对坐标的曲面积分的概念
是否封闭，若 是封闭曲面，则可直接利用Gauss公式，将 所求积分转化为三重积分来计算。若 不是封闭曲面，则可 进一步判别 是否为平面块， 是平面块，则可根据题目的 特点，考虑将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分来 计算。若 不是平面块，此时，一般有两种方法，一种是通 过补特殊曲面 ，使 构成一封闭曲面，然后在封闭曲
4 z 2 x y与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 3 4 z 2 x y 4 代入，从而简化计算。 函数，即将 3 x y 解：平面 方程的为 z 4(1 ) （见下图）， 2 3
在 xoy面上的投影区域为：
x y D xy : 1, x 0, y 0 2 3 z z 4 2, x y 3
( （1）若 : z z( x, y ) ， x , y ) D xy。


f ( x , y , z )dS

D xy
2 f [ x , y , z( x , y )] 1 z x z 2 dxdy y
( （2）若 : x x( y, z ) ， y , z ) D yz 。
第十章 曲 面 积 分
对面积的曲面积分（第一型曲面积分）
一、对面积的曲面积分的定义
1．定义:
f ( x, y, z )dS lim f ( , ,
0 i 1 i i
n
i
)S i
2．物理意义:
M ( x , y , z )dS

表示面密度为 ( x, y, z )的曲面 的质量。

cos x P
cos y Q
cos dS . z R
（这里 是有向曲面 的正向边界曲面)

四、散度与旋度
P 设 A P i Q j R k ， , Q, R 均有一阶连续偏导数。

（1）散度 div A

P Q R x y z
H
2 R arcsin
y R
R
R
1 z arctan R R
2 arctan
0
H R
2 2 【例3】计算曲面积分 | xyz | dS，其中为曲面 z x y
(0 z 1) 。

2 2 分析 注意到积分曲面 为旋转抛物面z x y (0 z 1) ，

i rot A （2）旋度 x P
j y Q
k z R
R Q P R Q P y z i z x j x y k
四、对面积的曲面积分的应用
S 1．几何应用 求曲面的面积： dS

2．物理应用 质量 M ( x, y, z )dS

1 质心 x M 1 z M
x( x, y,

z )dS
z )dS
1 y M
y( x, y,

z )dS
z( x, y,

转动惯量
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
2．反号性
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy

3．奇偶对称性
0 Rdxdy 2 Rdxdy
1
y , z )dS f ( x , y , z )dS