同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
∑ 平面汇交力系
r F
' R
=
nr Fi
平面任意力系 平面力偶系
i=1
n
∑ M o = M o (Fi )
i =1
形式二注意：A、B连线不得与各力平行。
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑MO =0
Σ Fx = 0 Σ MA = 0 Σ MB = 0
Σ MA = 0 Σ MB = 0 Σ MC = 0
塔吊的实例
A
B
G
C
DE
H
05年9月8日下午2点06分，北京朝阳区某工地的塔吊在起吊一些预 制板构件时，第一根钢绳突然被绷断，紧接着吊臂开始变形，并向西南 方向倒下来，但所幸无人员伤亡。
z A、R=P，M=3PL；
z B、R=0，M=3PL；
z C、R=2P M=3PL；
z D、R=0，M=2PL。
§4.2 平面任意力系的平衡方程
z
zO
y
y
O
x
x
Σ Fx = 0, Σ Fy = 0, Σ MO= 0。
1.平衡条件
2.平衡方程
FR' = 0
⇒ ∑∑ XX == 00 ∑∑YY == 00
简图：
MA
FR
固定端约束反力有三个分量： MA
F 两个正交分力，一个反力偶 XA FYA
三种常见的支座约束
1、滚动铰支座
r FA
2、固定铰支座FN r FAx A
r FAy
3、固定端
r FAy
r FAx MA
固定端的约束反力:
rr FAx , FAy ห้องสมุดไป่ตู้ M A
四、平面任意力系的简化结果 MA FFRR''
见教材
例2 已知： 最大载重量W1max ,W , 尺寸如图；
求： 起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重W2 ；
注：1. 也可以直接利用翻倒 的临界条件FA=0和FB=0, 求 得W2 最小值和最大值
2. 平衡物重量最小值应该满 足在最大载荷并处于最不利 位置时也能平衡；而最大值 则是在空载时也能保证平衡。
平面任意力系向O点简化结果：
y
FrR′
Mo
合力
r F
R′
—
该力系的主矢，
通过O点。
合力偶 M O— 该力系对于O
O
x
点的主矩。
即简化结果为一个力和一个力偶。
三、主矢和主矩
主矢的解析表达式：
y
FrR′
Mo
∑ ∑ FrR' = FrR' x + FrR' y =
r Fxi
+
r Fy j
( ) (∑ ) ∑ FR' =
OO MM00 M0
AA
FFRR
x
内某一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。
合力作用线位置： 合力作用线上一点坐标为(x, y)
MO (FR ) = ∑ MO (F ) 即：xFRy − yFRx = MO
O MA FR'
A
4. FR' = 0， M O = 0 (平衡)
一绞盘有三个等长的柄，长度为L，相互夹角为1200 如图所示。每个柄端作用一垂直于柄的力P。将该力系 向BC连线的中点简化，结果为（ ）。
Fx 2 +
Fy 2
O
( ) ∑ x
cos
FrR'
r ,i
=
Fx FR'
( ) ∑ cos
FrR'
,
r j
=
Fy FR'
主矩的解析表达式：
∑ ( ) ∑ ( ) n
r
n
M o = M o Fi =
xi Fyi − yi Fxi
i =1
i =1
作为平面一般力系简化结果的一个应用，我们来分析另一种常见约 束——固定端约束的反力。
FB
FB ⋅ 8 − 4 ⋅ q ⋅ 6 − F ⋅ 2 = 0
代入（1）式
FB = 375N FAy = 325N
平面平行力系的合成和平衡
∑ FX ≡ 0
平面平行力系的平衡方程：
y F1 F2 F3 F4
( ) 形式一：
∑ Fy
=
0 r
∑ M O Fi
=0
O
x
(( )) ∑∑ 形式二：
r M A Fri = 0 M B Fi = 0
MO = 0 ⇒ ∑ MO(F) = 0
平面任意力系有且只有三个独立的平衡方程
yB
y
CC
B FBFRFR'RFFRRF' R'
B
OO
OAAA M0
x
x
MA
3.平衡方程的其他形式
二矩式方程 ∑X =0 ∑ M A(F) = 0 ∑ MB(F) = 0 两矩心的连线与投影轴不垂直
三矩式方程
∑ M A(F) = 0 ∑ MB(F) = 0 ∑ MC (F) = 0 三矩心不共线
可能存在以下四种情况：
1. FR' = 0， MO ≠ 0
(力偶，与简化中心无关)
A MA
M00 FFRR
OO
2. FR' ≠ 0， M O = 0 (合力 FR ，作用线过简化中心)
FFR'R' (x,y)
3. FR' ≠ 0， M O ≠ 0 (最终简化结果为合力)
合力矩定理：若平面任意力系有合力，则合力对作用平面
第四章 平面任意力系
平面任意力系： 各力的作用线都在同一平面内分布，
且既不完全相交于一点，也不完全相互 平行，则该力系称为平面任意力系。
§4.1 平面任意力系向一点简化
一、 力的平移
r r
F
怎样才能将力F从A点平行移动到O点？ 在O点作用什么力系才能使二者等效？
力向一点平移
r F
－F
F F
加减平衡力系(F,-F), 二者等效。