F(Rh) h(2Rh)
FP
h(2Rh) Rh
当FP h(2Rh)时球方能离开地面 Rh
2、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
平面平行力系平衡方程的一般形式：
Fy 0
mo
(F
)
0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
各力在x轴上的投影恒等于零，即
Fx 0
1.平面汇交力系的平衡方程
1）平面汇交力系平衡的必要与充分 的解析条件是：各力在两个坐标轴 上投影的代数和分别等于零
Fx 0
Fy
0
2）平面汇交力系平衡的必要与充分 的几何条件是：力多边形自行封闭
利用几何法求解平面汇交力系的平衡 问题时，画出自行封闭的力多边形 ， 然后按比例尺从力多边形中直接量出 未知力的大小即可。
在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力的指向未定时，可以先假设其指 向。如果计算结果为正，则表示假设指向正确；如果计算结果为 负，则表示实际的指向与假设的相反。
（3）列平衡方程 选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。选取哪种形式的平 衡方程取决于计算的方便，尽量避免解联立方程，应用投影方程 时，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩 方程时，矩心往往取在两个未知力的交点。计算力矩时，要善于 运用合力矩定理，以便使计算简单。 （4）求解：解平衡方程，求解未知量。 （5）校核
限制条件： FRA0
解得：
FW21F 0W8 12G7k5N
当空载时，此时FW1=0,为使起重机不绕A点翻倒，则必须满足
平衡方程ΣmA（F）=0,在临界情况下，FRB=0，限制条件
mB(F)0
F RA 2 y 0 F P 4 G 1 0 0
Fx 0 F RA F xRc Bo 60s 0 F P0
解得：FRB62.4kNFRAy46kN FRAx11.2kN
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系的特殊力系，它们的平衡方程皆可由平面一般力系 的平衡方程导出。
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
由Fx0,F RA x0
mA(F)0;
解得：
FRBaqaa2mP2a0
Fy 0 F RA y F R Bq aP0
F R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N F R A P y q F a R B 2 2 0 0 0 .8 1 2 2 ( k 4 )N
[例]如图所示拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为滚轴支 座，其支承面与水平面成倾角300。桁架自重G=100KN,风压力 的合力Q=20KN,其方向水平向左，试求A、B 支座反力。
解：〈1〉、选桁架为研究对象，画出其受力图
〈2〉、列平衡方程选A、B两点为矩心，用二矩式
mA(F)0
G 1 F 0 P 4 F R 2 B s 0 6 i0 n 0 0
FRBx5kN FRA28kN
FRBy38kN
2.平衡方程的二矩式
Fx 0
m A(F )
0
（A与B两点的连线不垂直于x轴）
m B (F
)
0
3.平衡方程的三矩式
m A(F ) mB(F )
0
0
mC (F )
0
（A、B、C三点不共线）
应用平面一般力系的平衡方程求解平衡问题的解题步骤如下： （1）确定研究对象 根据题意分析已知量和未知量，未知量要用已知量来表示，所 以研究对象上一定要有已知量，选取适当的研究对象。研究对象 选的是否合适，关系到解题的繁简。 （2）画受力图
[例]如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平
推力P=5KN的作用。刚架顶上有均布荷载，荷载集度为q=22KN/m，
刚架自重不计，尺寸如图所示，试求A、B处的支座反力。
解：研究钢架，由：
Fx 0 FPFRBx0
Fy 0
FRA FRByq30
mB(F)0
FP3FRA 3q32 30
解得：
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h
解：1）研究块,受力如图，
由力三角形：
F
FN cos
co s R 2R (Rh)2R 1 h(2Rh)
解得：
FN
FR h(2Rh)
2）再研究球，受力如图：
作力三角形
PFN' sin
又sinRh
R
FN' FN
PF NsinhF (2R R h)RR h P
mA(F) 0
mB (F) 0
（A、B两点连线不与诸力
所以只有两个独立方程，只能求解 平行）
两个独立的未知量。
[例] 塔式起重机如图所示， 机架重G=700KN，作用线通 过塔架中心。最大起重量 FW1=200KN，最大悬臂长为 12m，轨道A、B的间距为4m， 平衡块重FW2，到机身中心 线距离为6m。试问： 〈1〉、保证起重机在满载 和空载都不致翻倒，求平 衡块的重量FW2应为多少？ 〈2〉、当平衡块重 FW2=180KN时，求满载时轨 道A、B给起重机轮子的反 力。
第四章平面一般力系的平衡方程 及其应用简化及平衡方程分解
由此可得结论，平面一般力系平衡的解析条件是：所有各 力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和都等于零；力系 中所有各力对任一点的力矩的代数和等于零。
需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求 解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力的交点（可在 研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一个未知量，以便简化计算。
解：1）画起重机受力图， 如图这些力组成平面平行 力系
〈2〉、求起重机在满载 和空载时都不致翻倒的平 衡块重FW2的大小
当满载时，为使起重机不 绕B点翻倒，这些力必须满 足平衡方程ΣMB（F）=0 在临界情况下，FRA=0，限 制条件FRA≥0,才能保证起 重 G 2 F W 1 ( 1 2 ) 2 F R ( 2 A 2 ) 0