第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)
(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k
y k x
=
≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ．
（1）△＞０，方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数(0,1)x
y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.
⑦幂函数y x α
=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成
()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另
个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

Eg ：试判断方程在区间0122
4
=-+-x x x [0,2]内是否有实数解？并说明理由。

8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．
一元二次方程根的分布的基本类型
设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.
k 为常数，则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）或根在区间上的
分布主要有以下基本类型：
表一：（两根与0的大小比较）
分
布情况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于
()120x x <<
大致图象（
>a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩
()00<f
大
致图象（
<a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩
()00>f
综合结论
（不讨论a ）
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0
0200b a a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪⋅>⎪⎩
()00<⋅f a
表二：（两根与k 的大小比较）
分
布情况
两根都小于k 即
k x k x <<21, 两根都大于k 即
k x k x >>21,
一个根小于k ，一个大于k 即
12
x k x <<
大致图象（
>a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩
()0<k f
大
致图象（
<a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综合结论
（不讨论a ）
()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩
()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩
()0<⋅k f a
k
k
k
表三：（根在区间上的分布）
分
布情况
两根都在()n m ,内
两根有且仅有一根在()
n m ,内（有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()
q p ,内，q p n m <<<
大致图象（
>a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
>⎪⎪
>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
000f m f n f p f q ⎧>⎪
<⎪⎨
<⎪⎪>⎩或()()()()00
f m f n f p f q <⎧
⎪⎨<⎪⎩
大
致图象（
<a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
<⎪⎪
<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0000f
m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩
或()()()()0
0f m f n f p f q <⎧⎪⎨
<⎪⎩
综
合
结
论
（不讨论a ）
——————
()()0<⋅n f m f
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00
q f p f n f m f。