第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。

除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。

这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。

显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。

比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。

矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。

下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。

消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。

最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。

写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。

显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。

第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。

我们把系数矩阵和常数列拼成的)1(+⨯n m 矩阵()b A称为线性方程组b Ax =的增广矩阵，满足方程的列向量x 称为方程b Ax =的解向量，线性方程组的矩阵消元解法，就是通过对增广矩阵施行一系列的初等行变换来求得方程组的解向量。

矩阵消元解法中不允许作初等列变换。

矩阵消元解法通常执行初等变换的标准程序，主元在系数矩阵范围内选取。

初等变换的标准程序可以保证消元的有序性和完全性。

例3.2 求解以下两个线性方程组（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--361212513321x ；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-731251130011x 。

解（1）对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32126513132]1[→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145034]5[01321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200034501321 其中第二步仅仅将第2行乘1-加到第3行，即发现第3行对应的方程为2000-=++，这是一个矛盾方程，无论x 取何值，都不能使这个方程成立，所以原方程组无解。

解（2） 按标准程序作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-72513130101]1[→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-62603]1[301011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000031301011 最后矩阵的第3行对应方程0000=++，这是一个恒等式，说明原方程组有多余的方程。

比如在原方程组中，将第1个方程与第2个方程的2倍相加，恰好得到第3个方程，即第3个方程是多余的。

多余方程在对增广矩阵的初等行变换中会自动地显现出来。

本例最后矩阵的前两行对应方程⎩⎨⎧=++=+-330103221x x x x这两个方程不能完全约束3个变量，其中必有一个变量可以取任意值，称之为自由变量，这里把2x 看作自由变量比较方便，任意指定2x 的一个值，就能够立即得到方程组的一个解向量。

比如令02=x ，得解()Tx 3,0,1=；令12=x ，得解()T x 0,1,2=；令22=x ，得解()Tx 3,2,3-=等等。

从例3.1和例3.2可以看出，实施线性方程组的矩阵消元解法，可能出现下列情况： （1）若某一行的元素全为零，则该行对应多余方程。

（2）若某一行除最右侧一个元素非零外，其余元素都为零，则原方程组无解。

（3）如果标准程序执行完毕未出现矛盾方程，那么当所选主元个数等于变量个数时，方程组有唯一解；当所选主元个数少于变量个数时，方程组含有自由变量，从而有无穷多解。

§3.2 矩阵的秩一．秩的概念一个线性方程组虽含有多个方程，但其中可能有多余方程，因此线性方程组解的情况取决于去除多余方程后留下的独立方程。

这说明方程组存在某种秩序，决定了方程组的解。

这种秩序可以反映在系数矩阵和增广矩阵之中，它是矩阵的固有特性。

尽管多余方程会在初等变换中显现出来，但我们有必要对这种秩序作出明确的定义。

在矩阵A 中，任选k 行、k 列，这些行、列交叉处的元素可构成一个k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式。

A 的子式有许多，包括1阶子式、2阶子式、……，子式的最高阶数不超过A 的行数和列数。

如果矩阵A 的所有子式中，不等于零的子式的最高阶数为r ，则r 称为矩阵A 的秩，记为 秩)(A =r 或r r =)(A 。

换一种说法即矩阵A 有一个r 阶子式非零，而所有)1(+r 阶子式皆为零。

对于零矩阵O 规定 秩0)(=O 。

由于行列式转置后，其值不变，所以 秩)(A = 秩)(TA 。

设A 是n m ⨯矩阵，显然≤0秩)(A ),min(n m ≤。

如果 秩0)(=A ，则A 是零矩阵。

如果 秩)(A =),,min(n m 则称A 为满秩矩阵。

当n m =时，因A 的n 阶子式只有一个即A ，故对于方阵来说，满秩矩阵与非奇异矩阵、可逆矩阵是同一个概念，相互等价。

二．秩的求法计算矩阵所有的子式后再确定矩阵的秩，显然太麻烦了。

一般是通过矩阵的初等变换来求秩，由于初等变换不改变行列式的非零性，所以有以下定理：定理3.1 矩阵经初等变换后，其秩不变。

例3.3 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=43333320126624220121A 的秩。

解：按标准程序对A 施行初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=4333332012662422012]1[A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2369012230]2[600020121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0369001]2[301300006121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001300005.015.1005.505.01 其中第三步消元和换行同时进行。

在最后的矩阵中，显然所有4阶子式均为零（有一行元素全为零），有一个3阶子式非零（选前三行及第1、3、5列）：01010001≠=所以 秩3)(=A 。

实际上矩阵的秩可以直接从最后的矩阵中读出：秩=所选主元个数=非零行数=基本单位列数 （3.1）应该注意的是：在施行初等变换时，主元应在整个矩阵范围内选取。

读取秩数必须在标准程序执行完毕后进行，这时最后的矩阵称为最简矩阵。

如果仅仅是求矩阵的秩，那么初等变换的程序可以简化：主元不必变为1；已选过主元的行可不再参加变换。

我们称之为初等行变换的简化程序。

比如对本例运用简化程序的过程为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=4333332012662422012]1[A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----23690122]3[02600020121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----130002]6[0001223020121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000260001223020121 简化程序中，选取主元通常是从左至右按第1列，第2列，第3列……的顺序进行，最后的矩阵是一个阶梯形矩阵。

秩数也可直接读出：秩=所选主元个数=非零行数 （3.2）注意秩数的读取必须在简化程序执行完毕后进行，即只有当矩阵中选不出新的主元时，读出的秩数才是正确的。

简化程序还允许对矩阵作初等列变换。

三、矩阵的秩与线性方程组的解例3.2（1）的线性方程组无解，其增广矩阵经初等行变换化为矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200034501321可以读出增广矩阵的秩等于3。

这个矩阵的前3列从系数矩阵变化而来，故由此可读出系数矩阵的秩等于2，这两个秩数不相等。

反之从例3.1和例3.2（2）可读出两个秩数相等，这时方程组有解（唯一解或无穷多解）。

对于齐次线性方程组0=Ax 常数列为零向量0（常数项全为0）。

其增广矩阵()0A中右侧的列全为零元素，因此，秩()=0A 秩)(A 。

显然齐次线性方程组至少有一个零解0=x 。

如果 秩)(A 小于变量的个数，那么象例3.2（2）那样会含有自由变量，从而方程组有无穷多解，即除了零解外，还有非零解（至少有一个变量取非零值）。

我们把以上分析归纳为定理3.2 设A 是n m ⨯矩阵，b 是1⨯m 矩阵，秩r =)(A ，则方程组的解与矩阵的秩有如下关系：（1）非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是 秩()r =b A ，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。

时，方程组b Ax =有无穷多解。

（3）齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是n r <。

当n m =，即A 是n 阶方阵时，条件 秩n <)(A 等价于0=A 。

定理 3.2的结论（3）在这个特殊情况下正是第一章的定理1.4。

当时我们并末证明充分性，现在得到了证明。

在对线性方程组实施矩阵消元解法时，秩)(A 和 秩()b A可从最后的矩阵中直接读出。

秩()b A反映了线性方程组独立方程的个数，因此线性方程组解的状况与方程的个数m 无关，而取决于增广矩阵的秩。

§3.3 线性方程组解的结构在§3.1节中提出要用解向量来表示线性方程组的解。

现在考虑当线性方程组有无穷多解时，如何用解向量表示全部解。

一．齐次线性方程组解的结构例3.4 求解齐次线性方程组 0=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x 7831161332111411 解：运用矩阵消元解法。

由于齐次线性方程组的增广矩阵中，最右侧的零元素在初等行变换中不起作用，因此可以仅对系数矩阵按标准程序作初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----783116133211141]1[→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81240462046]2[01411→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000023101101 最后的矩阵显示只有2个独立方程，现有4个变量（和矩阵的第1～4列相对应），所以应含有2个自由变量。

取非主元列对应的43,x x 为自由变量，它们可以是任意常数，即令13c x =，24c x =，则2个独立方程变为⎩⎨⎧=+-+=+++023000212211c c x c c x移项后得到方程组的解及其向量形式（含任意常数21,c c ）为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221123c x c x c c x c c x 和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10210131214321c c x x x x 向量形式可简写为：2211ααc c +=x ，其中向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01311α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10212α显然都是解向量（取11=c 、02=c 和01=c 、12=c 得到）。