法方程解算方法与平差应用实例
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介绍法方程未知数及其函 数、法方程系数阵行列式和逆 矩阵的解算方法，及其在测量 平差中的应用。
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本章主要内容
法方程原位替换快速解算方法
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F f i 1
k 1
t
2 uk ( k 1)
nkk ( k 1)
(25)
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3. 法方程未知数及其函数解的紧凑格式
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利用（21）式和（20）式可求得法方程未知数，利用 （23）式和（25）式可求得法方程未知数的函数值，这些计 算均可在“紧凑格式”表1中进行。
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本次课主要内容：
一、正定矩阵的三角分解
二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算
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一、正定矩阵的三角分解
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设法方程的系数阵为正定矩阵，即： 对称 n11 n n （1） 21 22 N nt1 nt 2 ntt 将N分解为下三角阵L与其转置矩阵的乘积，即 （2） N L LT 式中
2 2.5 7 1 5 5 17 3 2 2 2.5 5 5 3 2 117 7 12
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2 1 2 4 1 N 41 1 17 2.5 5 2.5 4.5 3 (2 2.5 3 1 5 2.5 17 4.5 2 2 2.5 2.5 5 4.5 2 117 3) 144 4 1 2 2 2 N 22 1 1 4.5 3 2 3 7
k 1
k 1 i 1
nkk ( k 1) n jk( k 1) nik( k 1) nkk ( k 1)
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(i 2,..., t ) (8) ( j i 1, i 2,, t )
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顾及（6）式、（7）式和（8）式对（16）式归纳整理得
k 1
其中
yi ui(i 1) / nii(i 1) （i=1，2，…，t） (17) i 1 n ik ( k 1) u k ( k 1) ui(i 1) ui (18) nkk ( k 1) k 1 u10 u1 , (i 1,2,, t )
t ,t t ,1 t ,1
或
NX U
其中N 阵正定
X x1 x2 ... xt T U u1 u2 ... ut T
(9) (10) (11) (12) (13)
将（2）式代入（9）式得： L LT X U 令 LT X Y Y y1 y2 ... yt T
i 1
i 1,2,..., t j i 1,..., t
( j 2,3,, t )
（5）
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（6）
顾及（6）式对（5）式归纳整理可得
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lii nii(i 1)
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线性方程组 解算求逆1
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线性方程组 解算求逆2 主页
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作 业:
第九章习题8
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第二节 逆矩阵原位替换快速解算方法
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授课目的要求: 明确逆矩阵原位替换快速解 算的基本原理，掌握其求解的方法步骤。 重 点、难 点: 在紧凑格式中求逆的方法步骤。
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l ji
其中
1 nii( i 1)
n ji(i 1)
(i 1,2,, t ) ( j i 1,, t )
(7)
nii(i 1) nii
i 1
2 nik ( k 1)
n ji(i 1) n ji n j10 n j1
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本次课主要内容：
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经典矩阵求逆法回顾
一、正定矩阵三角分解求逆法概述 二、求矩阵的分解下三角阵的逆阵 三、利用分解下三角阵的逆阵求原矩阵的逆阵 四、正定矩阵三角分解求逆的紧凑格式 五、算例 六、课堂练习
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17 11 N11 1 2.5 5
2.5 4.5 3
5 3 7
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17 4.5 7 2.5 3 5 2.5 3 5 5 4.5 5 3 3 17 2.5 2.5 7 301.25
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L l11 l 21 l t1 l 22 lt 2 ... l tt
（3）
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分解式又可表示为：
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对称 l11 n11 n n 21 22 l21 nt1 nt 2 ntt lt 1
( 4.0 ) ( 2.0 ) ( 1.0 ) ( 17.0 ) ( 2.5 ) ( 5.0 ) ( -17.5 ) ( 4.5 ) ( 3.0 ) ( 0.0 ) ( 7.0 ) ( 36.0 ) 主页 x1= x2= x3= x4=
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( 2.0 ) ( 1.0 )
( -7.0 )
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2 1 2 2 1 N 21 1 2.5 4.5 3 5 3 7 (2 4.5 7 1 3 5 2.5 3 2 2 4.5 5 3 3 2 1 2.5 7) 12.5 2 1 2 31 N 31 1 17 2.5 5 5 3 7
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x1=
( 4.0 ) ( 2.0 ) ( 17.0 )
x2=
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( 1.0 )
( 2.0 ) ( 1.0 )
(
(
2.5 ) ( 4.5 )
5.0 ) ( 3.0 )
( ( 7.0 ) ( -7.0 ) ( 36.0 )
x3=
x4=
( -17.5 )
0.0 )
则有
LY U
(14) (15)
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将（3）式、（14）式和（11）式代入（15）式，并用 比较法可解得
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i 1
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yi ( ui lik y k ) / lii （i=1，2，…，t） (16)
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经典矩阵求逆法回顾
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4 计算矩阵N的逆阵
由公式
2 1 2 2 17 2.5 5 N 1 2.5 4.5 3 2 5 3 7 1 1 N ji mm N N
1.计算代数余子式
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2. 求法方程未知数的函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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设法方程未知数的函数为：
F f1 x1 f 2 x2 f t xt f t 1
(22)
将（21）式和（20）式依次代入上式并归纳整理得：
F f t 1
k 1
表1 线性对称方程组解算的紧凑格式 1 2 … t
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的函数不只一个, 则每增加一个函数在表1中增加一行, 填 入相应 f i 和 f t 1 的值，按计算F的方法计算即可。
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4. 算例 已知法方程
4 x1 2 x2 17 x 2 2.5x 2 5x 2
t
f k ( k 1)uk ( k ik ( k 1) f k ( k 1) f i( i 1) f i nkk ( k 1) k 1 f10 f1
(23)
(24)
当（22）式中 fi= ui (i=1,2,...,t) 时，又可得：
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xi
1 nii(i 1)
(ui(i 1)
k i 1
n
t
ki ( i 1) k
x )
(i t 1,...,1) (20)
当 i=t 时有：
xt
ut (t 1) ntt( t 1)
(21)
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