a2n
b2
am1
am2
amn
bm
9.1 线性方程组的消元法
例1 解线性方程组
1 2
x1
x1
2 x1
5 3 4 3
1 3 x2
x
x2 2
3x 5
x
3
x
3 3
1， 3， 2．
解：第一步：交换第一 个方程和第二个方程的 位置，得
x1
1 2
x1
2 x1
5 3
x2 c2 (a2 x r1 r1 a2nxn)
xr cr (ar x r1 r1 arnxn)
xr1,xr2,xn任意取定的一组值，都可求
得这个线性方程组的相应的一个解。此时，该 线性方程组有无穷多解。
9.2 非齐次线性方程组
当r=n时，这个线性方程组可相应地化为
x1 c1 ，
a21x1 LL
a22 x2 L
L L
a2n xn LL
b2 ， L
am1x1 am2x2 L amn xn bm ．
9.1 线性方程组的消元法
系数矩阵
a11
A
a
21
a m1
a12 a22 am2
a1n
a2n
a
mn
增广矩阵
a11 a12 a1n b1
A~a21
a22
1 0 0 4
0
1
0
3
0 0 1 2
则矩阵的最后一列元素就是方程组的解。
第九章 线性方程组
9.2 非齐次线性方程组
9.2.1 解的判定
一般地，含有n个未知量、m个方程的线性
方程组为
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 ，
a21x1 LL
a22 x2 L
L L
x2 L
c2 ，
x n c n ．
此时，该线性方程组有惟一确定的一个解。
9.2 非齐次线性方程组
当时cr+1≠0，线性方程组相应地化为
x1
a1 x r1 r1 a1nxn c1 ，
x2 a2 x r1 r1 a2nxn c2 ，
xr ar x r1 r1 arnxn cr ，
0 0 1 ar r1 arn cr
0
0
0
0
0
0
9.2 非齐次线性方程组
当r<n时，这个线性方程组可相应地化为
x1
a1r1xr1a1nxn c1
x2
a2r1xr1a2nxn c2
xr arr1xr1arnxn cr
9.2 非齐次线性方程组
所以
x1 c1 (a1r1xr1 a1nxn)
0 cr1 ．
最后一个方程不成立，即原方程组无解。
9.2 非齐次线性方程组
定理9.1 设有m个方程、n个未知量的线性
方程组，其系数矩阵A的秩为r(A)，增广矩阵 A%
的秩为 r(A~)，则有如下结论：
(1)线性方程组有解的充分必要条件是 r(A)r(A ~) (2)若r(A)r(A ~)n，线性方程组有且只有惟一解；
(3)线性方程组的经济应用。
2. 重点与难点
第九章 线性方程组
(1)重点
消元法、矩阵的初等行变换、线性方程组 解的判定、齐次线性方程组的一般解。
(2) 难点
线性方程组解的判定、求齐次线性方程组 的一般解。
第九章 线性方程组
9.1 线性方程组的消元法
线性方程组的一般形式为
a11x1 a12x2 L a1n xn b1 ，
1 0 0 a1 r1 a1n c1
0 1 0 a2 r1 a2 n c2
0 0 1 ar r1 arn cr
0
0
0
0
0
c
r
1
0
0
0
00
0
rn
9.2 非齐次线性方程组
当时cr+1=0，上式变成
1 0 0 a1r1 a1n c1
0 1 0 a2 r1 a2n c2
1 2
1 3
1
5 3
2
4 3
1 5 31 2 3 ( ① , ② ) 1 1 2 2
5 3
1 3
4 3
1 5 31 2 3 ② ③ ① ① (( 2 1 2)) 1 0 0 5 32 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2
1
5 3
a2n xn b2 ， LL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm ．
9.2 非齐次线性方程组
其增广矩阵为
a11
A~
a2 1 am1
a12 a22 am2
a1n b1
a2n b2
am n
bm
9.2 非齐次线性方程组
经过初等行变换后可以化成以下的形式：
x1
5
3 x2
x2
x3
3x3 1，
3
，
2x2 x3 4 ．
9.1 线性方程组的消元法
第四步：上式第二个方程 乘以2加到第三个方程，得
x1
5 3
x2 x2
3 x3 x3
1
3， ，
x3 2 ．
方程组的解为
阶梯形方程组
x14,x23,x32
9.1 线性方程组的消元法
第九章 线性方程组
9.1 线性方程组的消元法 9.2 非齐次线性方程组 9.3 齐次线性方程组 9.4 应用与实践 9.5 拓展与提高
第九章 线性方程组
一 知识结构框图
第九章 线性方程组
二 教学的基本要求和重点、难点
1. 基本要求 (1)线性方程组的消元法。
(2)用矩阵的初等行变换判定关于线性方程组解 的情况和求齐次线性方程组一般解的方法。
把方程组化为阶梯形方程组，需要反复运 用以下三种变换：
1．交换两个方程的位置；
2．用一个非零数乘某个方程；
3．用一个非零数乘某个方程加在另一个方程上。
将任一个方程组进行上述变换所得到的新方 程组与原方程组是同解方程组。上述三种变换称 为线性方程组的初等变换。
9.1 线性方程组的消元法
例1的求解过程用矩阵的初等行变换表示如下：
3 3
1
5 3
3
3
② ( 2) 0 1 1 1 ③ ② 2 011 1 B
0 2 14
0 0 1 2
阶梯形矩阵B对应 的阶梯形方程组是：
x1
5 3
x2
x2
3x3 x3 1
3 ，
，
x14,x23,x32
x3 2 ．
9.1 线性方程组的消元法
另外，若将矩阵B用初等行变换化为行 简化阶梯形矩阵
x2
3x3
3
，
1 3x2Fra bibliotekx31
，
4 3
x2
5x3
2
．
9.1 线性方程组的消元法
第二步：上式第一个方程乘 -1/2和-2分别加到第二个和 第三个方程，得
x1
5 3 1 2
x2 3x3 3 ，
1
1
x2 2 x3 2
2 x2 x3 4 ．
，
第三步：上式第二个方程 两边乘以 -2，得