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(3)画出函数f(x)＝ －x的图象如图. 由图象可知，f(x)＝ －x在(0,1)内的 图象与x轴没有交点， 故f(x)＝ －x在(0,1)内不存在零点.
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判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1) f(x)x3x1,x [1,2]; 存在零点 (2) f(x)log2(x2)x,x [1,3].存在零点
(x1,0)或(x2,0)
零点个数 两个
一个
Δ＜0
无交点 零个
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3.二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且_f_(a_)_·_f(_b_)_<_的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的0零点所在的区间 _一__分__为__二___，使区间的两个端点逐步逼近_零__点__， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
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题型一 零点个数及零点求法
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判断函数f(x)＝4x＋x2－ 点的个数，并说明理由.
在区间[－1,1]上零
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【解】 ∵f(－1)＝－4＋1＋
＜0，
f(1)＝4＋1
＞0，
∴f(x)在区间[－1,1]上有零点.
又f′(x)＝4＋2x－2x2＝
当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤
∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数，
练习 求函数 f(x)x32x2x2的零点，并画 出其大致图象．
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1、当 0 x 1时，函数yaxa1的值有正值也有
负值，则实数 a 的取值范围是（ D ）
A a1 2
B a 1
C a 1或a 1 D 1 a 1
2
2
2、函数 f (x)ln(x1)2的零点所在的大致区间
是（ B ）
x
A (0,1) B (1, 2) C (2, e) D (3, 4)
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思考感悟 1．是否任意函数都有零点？ 提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0 有根的函数y＝f(x)才有零点．
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(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有_f_(a_)_·_f(_b_)_<_0_，那么函 数y＝f(x)在区间__(_a_，__b_) __内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得_f_(_c)_＝__0_，这个_c_也就是f(x)＝ 0的根．
3.1函数与方程期末复习
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基础梳理
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_f_(x_)_＝__0___成立的实 数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_x_轴__有 交点⇔函数y＝f(x)有_零__点__．__
零点，且一个大于１，一个小于１，求实数m 的
取值范围；
m 21 4
②关于 x 的方程 m x 2 2 (m 3 )x 2 m 1 4 0有 两个实根且一根大于４，一根小于４，求实数 m
的取值范围． 19 m 0 13
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思考感悟 2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？ 提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少 有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．
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2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的 关系
Δ＞0
Δ＝0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c (a
＞0)的图
象
与x轴的 交点
__(_x1_,0_)__， _(x_2_,0_)__
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函数零点问题常考虑的方法有： ①解方程，当能直接求解零点时，就直接求出进行 判断； ②用定理，零点存在性定理；
③利用图象的交点，有些问题可先画出某两个函数
图象，y f (x) , y g(x) 其交点的横坐标是 f (x)g(x) 的零点。
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题型二 二分法与实根的分布
若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的 函数值用二分法计算，其参考数据如下：
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题型三 函数与方程综合应用
例 ⑴ m 为何值时，f(x)x22m x3m 4
①有且仅有一个零点；②有两个不同零点且均比-1大；
⑵若函数 f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数 a 的
取值范围。
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巩固练习
①函数 f(x ) x 2 2 (m 3 )x 2 m 1 4有两个
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)
为
Байду номын сангаас
.
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【解析】 通过参考数据可以得到：f(1.40625)＝－0.054<0， f(1.4375)＝0.162>0，从而易知x0≈1.40625. 【答案】1.40625
∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点.
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解：(1)∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0， 又∵f(x)在区间[1,8]上连续， 故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点. (2)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0， f(3)＝log2(3＋2)－3<log28－3＝0，∴f(1)·f(3)<0， 又∵f(x)在区间[1,3]上连续 故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点.