单元检测八 解析几何(提升卷B)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点P (－2，m )，Q (m,6)的直线的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知A (1,4)，B (－3,2)，直线l ：ax ＋y ＋2＝0，若直线l 过线段AB 的中点，则a 等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．43．点P (2，－1)为圆(x －3)2＋y 2＝25中弦的中点，则该弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝04．(2020·大连模拟)已知双曲线C 1：x 28－y 24＝1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B.5－1 C ．23－1 D. 35．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( )A ．6πB ．36πC ．7πD ．49π6．(2020·江西省南昌市第二中学月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆T 上任意一点，过F 2作△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A.1e 1＋1e 2＝2 B.1e 1－1e 2＝2 C ．e 1＋e 2＝2D ．e 2－e 1＝28．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x－2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎣⎡⎭⎫12，1C.⎝⎛⎦⎤0，22D.⎣⎡⎭⎫22，1 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．∀k ∈R ，l 与C 相交 B ．∃k ∈R ，l 与C 相切 C ．∀r >0，l 与C 相交D ．∃r >0，l 与C 相切10．(2020·四川省绵阳市绵阳南山中学月考)下列四个说法中，错误的是( ) A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线，都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线P 1P 2，都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝ (x －x 1)(y 2－y 1)来表示C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程都可以用x a ＋yb＝1来表示D ．经过点(0，b )的直线，都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示11．(2020·福建厦门一中月考)已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，若圆锥曲线E 以A ，B 为焦点，并经过顶点C ，则该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.2－1 B.22C. 2D.2＋1 12．(2020·福建厦门一中月考)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中成立的是( )A.1|AB |＋1|CD |＝12pB ．若|AF |·|BF |＝43p 2，则k ＝33C.OA →·OB →＝OC →·OD →D ．四边形ACBD 面积的最小值为16p 2第Ⅱ卷(非选择题 共70分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 14．(2020·湖北黄石期末)直线x ＋y ＋1＝0被圆C ：x 2＋y 2＝2所截得的弦长为________；由直线x ＋y ＋3＝0上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点坐标为________．16．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，两不同点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小值时，椭圆C 的离心率为________．四、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2020·湖北荆门期末)已知过点P (0，－2)的圆M 的圆心(a,0)在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线x ＋y －2＝0所得弦长为2 2. (1)求圆M 的标准方程；(2)若过点Q (0,1)且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若△P AB 的面积为372，求直线l的方程．18.(12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．19．(13分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 20.(13分)(2019·湖北省荆门市龙泉中学月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,1)作斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．B 2.B 3.B 4.D 5.A6．B [延长F 2Q 与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线， 且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |， 且Q 为线段F 2M 的中点． 又O 为线段F 1F 2的中点， 由三角形的中位线定理，得 |OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2， 所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆．] 7．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c ，所以1e 1－1e 2＝4c2c＝2，故选B.]8．C [直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴圆C 2的圆心(2,1)为A ，B 两点的中点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎡⎭⎫12，1， 所以e ＝1－b 2a 2∈⎝⎛⎦⎤0，22.] 9．AC [∵直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)， 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴∀k ∈R ，l 与C 相交， ∴∀r >0，l 与C 相交，∴AC 正确．]10．ACD [A 中，过定点P 0(x 0，y 0)的直线斜率不存在时，方程不成立，故A 错误； B 中，对于任意不同点确定的直线都适合，B 正确；C 中，根据截距概念知a ，b 可以为0，此时不能用x a ＋yb ＝1来表示，故C 错误；D 中，当过点(0，b )的直线斜率不存在时，不能用方程y ＝kx ＋b 来表示，故D 错误．] 11．ABD [(1)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心率e ＝2c 2a ＝|AB ||CA |＋|CB |＝22，当C ＝π4时，离心率e ＝|AB ||CA |＋|CB |＝12＋1＝2－1；(2)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得， 只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB ||CA |－|CB ||＝12－1＝2＋1.]12．AC [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝14p 2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p (k 2＋2)k 2＋p ＝2p (k 2＋1)k 2，同理可得|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋11k 2＝2p (1＋k 2)，则有1|AB |＋1|CD |＝12p ，所以A 正确；OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14p 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2 ＝14p 2＋k 2⎣⎡⎦⎤x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋14p 2 ＝14p 2＋12k 2p 2－p 2(k 2＋2)2＝－34p 2，与k 无关， 同理OC →·OD →＝－34p 2，故OA →·OB →＝OC →·OD →，C 正确；若|AF |·|BF |＝43p 2，由⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2·(x 1＋x 2)＋14p 2，得12p 2＋p 2(k 2＋2)2k 2＝p 2＋p 2k 2＝43p 2，解得k ＝3，故B 错误；因为AB ⊥CD ，所以四边形ABCD 的面积S 四边形ACBD ＝12|AB ||CD |＝12·2p (k 2＋1)k 2·2p (1＋k 2)＝2p 2(k 2＋1)2k2＝2p 2⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥8p 2，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝1时，等号成立，故D 错误．] 13．2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2. 14.6102解析 圆C ：x 2＋y 2＝2的圆心C (0,0)，半径r ＝2， 设圆心C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ， 则d ＝12＝22， 弦长为2r 2－d 2＝22－⎝⎛⎭⎫222＝ 6. 设M 为直线x ＋y ＋3＝0上一点， 过点M 向圆C 引切线切圆C 于点N ， 则有CN ⊥MN ， ∴|MN |＝|CM |2－r 2＝|CM |2－2，故|CM |取最小值时，切线长最小， 此时CM 垂直于直线x ＋y ＋3＝0，即|CM |的最小值为圆心C 到直线x ＋y ＋3＝0的距离32， 所以|MN |最小值为102. 15．(0,3)和(0，－3)解析 由标准方程可知两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)， 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，即P 点为短轴端点． 故当m 取最大值时，P 点坐标为P (0,3)或(0，－3)． 16.22解析 设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以mn ＝b 2a2，从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2a 2，设b 2a 2＝x ，令f (x )＝12x＋ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝2x －12x 2，所以当0<x <12时，f (x )单调递减， 当12<x <1时，f (x )单调递增，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12， 即b 2a 2＝12.因为2b a ＋ab≥22， 当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝12时取等号，取等号的条件一致，此时e 2＝1－b 2a 2＝12，所以e ＝22. 17．解 (1)设圆M 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ≥0)， 则圆心M 到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|a －2|2，由题意得⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋4＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＋2＝r 2，解得a ＝0，r 2＝4，∴圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则圆心M 到直线l 的距离为1k 2＋1，∴|AB |＝24－1k 2＋1＝24k 2＋3k 2＋1， 又点P (0，－2)到直线l 的距离为d ＝3k 2＋1，∴S △P AB ＝12|AB |d ＝12×24k 2＋3k 2＋1×3k 2＋1＝372，解得k 2＝1，∴k ＝±1，则直线l 的方程为±x －y ＋1＝0.18．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.19．解 (1)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的长轴长为4，离心率为e 1＝c 1a 1＝32，∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，∴椭圆C 2的焦点在y 轴上，2b 2＝4，e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2＝2，a 2＝4，∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，∵OB →＝2OA →，∴O ，A ，B 三点共线，当斜率不存在时，OB →＝2OA →不成立，∴点A ，B 不在y 轴上，当斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ，将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1，消元可得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1，消元可得(4＋k 2)x 2＝16，∴x 2B ＝164＋k 2，∵OB →＝2OA →，∴x 2B ＝4x 2A ，∴164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，∴直线AB 的方程为y ＝±x .20．解 (1)由题意可得2a ＝6，所以a ＝3.由椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫2，±2103，所以49＋409b 2＝1，解得b 2＝8.所以椭圆C 的方程为x 29＋y28＝1.(2)直线l 的解析式为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点D (m,0)，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 29＋y 28＝1得，(8＋9k 2)x 2＋18kx －63＝0，Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝－18k8＋9k 2，所以x 0＝－9k8＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝88＋9k 2. 因为DE ⊥AB ，所以k DE ＝－1k ，即88＋9k 2－0－9k 8＋9k 2－m ＝－1k ， 所以m ＝－k 8＋9k 2＝－19k ＋8k. 当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝122， 所以－224≤m <0. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫－224，0.。