微专题19
1．答案：x 2
＝2y . 解析：假设抛物线标准方程x 2＝2py (p ＞0)，因为准线方程y ＝－12＝－p
2，所以
p ＝1，抛物线标准方程为x 2
＝2y .
2．答案：x 2
8－y 2
8＝1. 解析：因为e ＝c
a ＝2，
又b a ＝4
c ，所以b ＝22，a ＝22，所以双曲线的E 的标准方程为x 2
8－y 28
＝1.
3．答案：x 24＋y 2
2＝1.
解析：由c a ＝22，2a 2
c ＝
42解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 2
2
＝1. 4．答案：y ＝±2x . 解析：因为
m ＋4
m
＝3，得出m ＝2，所以渐近线方程为x 22－y 2
4＝0，所以y ＝
±2x .
5．答案：x 2
16＋y
2
8＝1.
解析：由
⎩⎨⎧c a ＝22，c ＋a 2
c ＝6
2，
解得
⎩⎨⎧a ＝4，
c ＝22
则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 2
8＝
1.
6．答案：x 2
－y 2
3
＝1.
解析：因为c
a ＝2，不妨
设焦点为(c ，0)，渐近线为y ＝b
a x ，即bx －ay ＝0，所以bc
b 2＋a 2
＝b ＝3，c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，双曲线C 的标准方程为x 2－
y 23
＝1.
7．答案：x 24＋y 2
4
3＝1.
解析：因为a ＝2，由|OC →
－OB →|＝
2|BC →－BA →|，得|BC →|＝2|AC →|，所以|OC →|＝|AC →
|，又由AC →·BC →＝0，所以|OC →|＝|AC →
|＝2，则点C (1，－1)代入椭圆E ，得
b 2＝
4
3，所以椭圆E ：x 24＋y 2
4
3
＝1.
8．答案：(1)32；(2)x 2
8＋
y 2
2
＝1. 解析：(1)由题意⎩⎪⎨
⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，
x （x ＋a ）＋y 2＝0，
消去y 2
，得c 2a
2x 2
＋ax ＋b 2＝0，一
根必为x 1＝－a ，由韦达定理，－a ·x 2＝b 2c 2a 2，x 2＝－ab 2
c 2，
所以x M ＝－ab 2
c 2∈(－a ，0)，
OA →·OM →
＝x M x A ＝ab 2c 2a ＝43b 2，
c 2a 2＝34，所以e ＝3
2
. (2)
由
(1)M ⎝⎛⎭⎫－23b ，－223b ，
右准线方程为x ＝
43
3
b ，直线MN 的方程为y ＝2x ，所以P ⎝⎛
⎭⎫
433
b ，463b ，S △POF ＝12
OF ·y P ＝
32b ·46
3
b ＝22b 2， S
△
AMN
＝2S
△AOM
＝
OA ×|y M |＝2b ×223b ＝42
3
b 2，所以
22b 2＋
423b 2＝103
a ，1023
b 2＝20
3b ，所以b ＝2，a ＝22，椭圆C 的标准方程为x 28＋y 2
2＝1.(也可以利用
直角三角形AMO 中，OA ＝a ，OA →·OM →＝43b 2，得OM ＝
2
3
b ，得出 M
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－4b 2
3a ，－2b a 2－43b 23a ，
代入椭圆方程来处理)．。