第一部分 专题二 第1讲 等差数列、等比数列(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·北京高考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11. 答案：C2．(精选考题·广元质检)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则连乘积a 1a 2a 3…aa 精选考题的值为( )A ．－6B ．3C ．2D ．1解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n，∴a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为4，且a 1a 2a 3a 4＝1，∴a 1a 2a 3a 4…aa 精选考题＝aa 精选考题＝a 1a 2＝2×(－3)＝－6. 答案：A3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．54 B ．45C ．36D ．27解析：根据2a 8＝6＋a 11得2a 1＋14d ＝6＋a 1＋10d ，因此a 1＋4d ＝6，即a 5＝6.因此S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.答案：A4．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 解析：因为a 3＋a 11＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.答案：D5．(精选考题·福建高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1<0，a 7＝1>0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6. 答案：A6．(精选考题·陕西高考)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：因为a n ＋1>|a n |⇒a n ＋1>a n ⇒{a n }为递增数列，但{a n }为递增数列⇒a n ＋1>a n 推不出a n ＋1>|a n |，故“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．(精选考题·广东中山)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前精选考题项的和S 精选考题＝90，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 精选考题＝________.解析：S 精选考题＝a 1(1－q 2010)1－q ＝a 1(1－22010)1－2＝90∴a 1＝9022010－1a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 精选考题＝a 2[1－(q 2)1005]1－q 2＝2a 1(1－22010)1－4＝60 答案：608．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (10，a 10)的直线的斜率为________．解析：∵a 4＝15，S 5＝55.∴55＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3，∴a 3＝11.∴公差d ＝a 4－a 3＝15－11＝4. a 10＝a 4＋6d ＝15＋24＝39. ∴P (3,11)，Q (10,39) k PQ ＝39－1110－3＝4.答案：49．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n＝5n ＋63n ＋3，则使得a nb n 为整数的个数是________．解析：∵A nB n ＝n (a 1＋a n )2n (b 1＋b n )2＝a 1＋a n b 1＋b n ＝5n ＋63n ＋3，∴a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝5(2n －1)＋63(2n －1)＋3＝10n ＋582n ＋2＝5n ＋29n ＋1＝5＋24n ＋1. ∴要使a nb n ∈Z ，只要24n ＋1∈Z 即可，∴n ＋1为24的正约数，即2,3,4,6,8,12,24，共有7个． 答案：7三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)(精选考题·浙江高考)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.11．(本小题满分15分)(精选考题·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n )2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q )，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64(1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4).化简得⎩⎨⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2 ＝4n －1＋14n －1＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝4n －14－1＋1－14n1－14＋2n ＝13(4n－41－n )＋2n ＋1. 12．(本小题满分16分)已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，a 1＋2a 2＝0，S 4－S 2＝18.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n S n }的前n 项和；(3)求使不等式a n ≥116成立的n 的集合．解：(1)设等比数列{a n }的公比是q ，因为a 1＋2a 2＝0，且a 1≠0，所以q ＝a 2a 1＝－12.因为S 4－S 2＝18，所以a 1(1－q 4)1－q －a 1(1＋q )＝18，将q ＝－12代入上式，解得a 1＝1，所以a n ＝a 1qn －1＝(－12)n －1(n ∈N *)．(2)由于a n ＝(－12)n －1，S n ＝23[1－(－12)n]，∴a n S n ＝23[(－12)n －1＋(12)2n －1]，故a 1S 1＋a 2S 2＋…＋a n S n ＝89－49·(－12)n －49·(14)n. (3)a n ≥116⇔(－12)n －1≥116.显然当n 是偶数时，此不等式不成立．当n 是奇数时，(－12)n －1≥116⇔(12)n －1≥(12)4⇔n ≤5，但n 是正整数，所以n ＝1,3,5.综上，使原不等式成立的n 的集合为{1,3,5}．1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3解析：由等差数列性质得S 3＝3a 2，所以S 33－S 22＝a 2－a 1＋a 22＝1，得a 2－a 1＝2.答案：C2．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 等于( )A.32B.133C.53D.13解析：由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝5，ab ＝6，又a >b ，所以⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝ 5.因此，离心率e ＝ca ＝53.答案：C3．(精选考题·辽宁高考)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172解析：显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4(1－125)1－12＝314.答案：B2．(精选考题·广东高考)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．(精选考题·山东高考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1) ＝n 4(n ＋1)， 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).6．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R)的图象经过坐标原点，且f ′(1)＝1，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 3n ＝log 3b n ，求数列{b n }的前n 项和． 解：(1)∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R)的图象经过坐标原点，∴f (0)＝b ＝0，∴f (x )＝x 2－ax ，由f ′(x )＝2x －a ，得f ′(1)＝2－a ＝1，∴a ＝1，第6页 共8页 ∴f (x )＝x 2－x ，∴S n ＝n 2－n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n －[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，a 1＝S 1＝0，∴a n ＝2n －2(n ∈N *)．(2)由a n ＋log 3n ＝log 3b n 得：b n ＝n ·32n －2(n ∈N *)， 设{b n }的前n 项和为T n ，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝30＋2·32＋3·34＋…＋n ·32n －2， ①∴9T n ＝32＋2·34＋3·36＋…＋n ·32n ， ②由②－①得：8T n ＝n ·32n －(1＋32＋34＋36＋…＋32n －2) ＝n ·32n －32n －18，∴T n ＝n ·32n 8－32n －164＝(8n －1)32n ＋164.。