2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为A ． (1 ,3)B ．(3,1)C ．(-1,3)D ．(3 ,-1)【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i i ii i i i i i ii 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ． 【答案】A3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D4．执行如图所示的程序框图，输出S值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

【答案】C5．函数x x x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解析】x x x f )21()(21-=的零点，即令0)(=x f ，根据此题可得xx )21(21=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数21x 和指数函数x)21(的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B 。

【答案】B6．已知为等比数列，下面结论种正确的是（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）2223212a a a ≥+ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2【解析】当01<a ，0<q ，时，可知01<a ，03<a ，02>a ，所以A 选项错误；当1-=q 时，C 选项错误：当0<q 时，241313a a q a q a a a <⇒<⇒>，与D 选项矛盾，因此描述均值定理的B 选项为正确答案，故选B 。

【答案】B7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+65（B ）30+65（C ）56+125（D ）60+125【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10=底S ，10=后S ，10=右S ，56=左S ，因此该几何体表面积5630+=+++=左右后底S S S S S ，故选B 。

【答案】B8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C 。

【答案】C第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为__________。

【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况，半弦长2l ，圆心到直线的距离d ，以及圆半径r 构成了一个直角三角形。

因为2=r ，夹角︒45，因此22==d l ，所以22=l 。

【答案】2210．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。

【解析】因为212111132132==⇒+=++⇒=+⇒=a d d a d a a a a a a S ，所以112=+=d a a ，n n d n n na S n 4141)1(21+=-+=。

【答案】12=a ，n n S n 41412+=11．在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。

【解析】在△ABC 中，利用正弦定理Bb Aasin sin =，可得21sin sin 33sin3=⇒=B Bπ，所以︒=30B 。

再利用三角形内角和︒180，可得︒=∠90C ．【答案】︒9012．已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(22b f a f _____________。

【解析】因为x x f lg )(=，1)(=ab f ，所以1lg =ab ， 所以2lg 2lg lg lg )()(222222===+=+ab b a b a b f a f 。

【答案】213．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。

【解析】根据平面向量的数量积公式=⋅=⋅DA DE CB DE θcos ||||DA DE ⋅，由图可知，||cos ||DA DE =⋅θ，因此1||2==⋅DA CB DE ，=⋅=⋅αcos ||||DC DE DC DE αcos ||⋅DE ，而αco s ||⋅DE 就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DC DE ⋅最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1． 【答案】1，114．已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ，则m 的取值范围是_________。

【解析】首先看22)(-=x x g 没有参数，从22)(-=x x g 入手，显然1<x 时，0)(<x g ；1≥x 时，0)(≥x g 。

而对R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g 成立即可，故只要1≥∀x ，R x ∈∀，0)(<x f (*)恒成立即可．①当0=m 时，0)(=x f ，不符合(*)式，舍去；②当0>m 时，由)3)(2()(++-=m x m x m x f <0得m x m 23<<--，并不对1≥∀x 成立，舍去；③当0<m 时，由)3)(2()(++-=m x m x m x f <0，注意02>-m ，1≥x ，故02>-m x ，所以03>++m x ，即)3(+->x m ，又1≥x ，故]4,()3(-∞∈+-x ，所以4->m ，又0<m ，故)0,4(-∈m ，综上，m 的取值范围是)0,4(-。

【答案】)0,4(-三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分） 已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间。

【答案】(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x xx x x xf x x x xxx--===-{}πsin 21cos 22sin 21|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，。

（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π． （2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z 。

16．（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2。

(I)求证：DE ∥平面A 1CB ； (II)求证：A 1F ⊥BE ；(III)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由。

17．（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30240 30 其他垃圾202060（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为cb a ,,其中a ＞0，c b a ++=600。

当数据c b a ,,的方差2s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值。

（注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数）18．（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。

19．(本小题共14分)已知椭圆C：22xa+22yb=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为22，直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N （Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）当△AMN的面积为103时，求k的值(20)（本小题共13分）设A是如下形式的2行3列的数表，a b cd e f满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.记r i（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），C j（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k （A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。