2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，文1，5分】设i 为虚数单位，则复数()21i +=（ ）（A ）{}13x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】C【解析】试题分析：由题意，22(1i)12i i 2i +=++=，故选C ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （2）【2016年四川，文2，5分】设集合{}15A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 【答案】B【解析】由题意，{}1,2,3,4,5A Z =，故其中的元素个数为5，故选B ．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年四川，文3，5分】抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）（A ）()0,2 （B ）()0,1 （C ）()2,0（D ）()1,0【答案】D【解析】由题意，24y x =的焦点坐标为()1,0，故选D ．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向上平行移动3π个单位长度（D ）向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键． （5）【2016年四川，文5，5分】设:p 实数x ，y 满足1x >且1y >，:q 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >．故p 是q 的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （6）【2016年四川卷，文6，5分】已知a 函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）（A ）4-（B ）2- （C ）4 （D ）2【答案】D 【解析】()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D ．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． （7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg20.30=)（A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B【解析】设从2015年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得()130112%200n⨯+>，2001.12130n ∴>，两边取常用对数得200lg 2lg1.30.30.11lg1.12lg , 3.8,4130lg1.120.05n n n -->∴>==∴≥，故选B ． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （8）【2016年四川，文8，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所 示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。

若输入n ，x 的值分别为3，2．则 输出v 的值为（ ）（A ）35 （B ）20 （C ）18 （D ）9 【答案】C【解析】初始值3n =，2x =，程序运行过程如下表所示1v =，2i =，1224v =⨯+=，1i =，4219v =⨯+=，0i =，92018v =⨯+=，1i =-，跳出循环，输出18v =，故选C ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（9）【2016年四川，文9，5分】已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =，PM MC =，则2BM 的最大值是（ ） （A ）434 （B ）494（C ）37634+ （D ）372334+【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系．()0,0B ，()23,0C ，()3,3A．∵M 满足1AP =，∴点M 的轨迹方程为：()()22331x y -+-=，令2cos x θ=+，3sin y θ=+，[)0,2θπ∈．又PM MC =，则31313cos ,sin 2222M θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴222313137493cos sin 3sin 2222434BM πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴2BM 的最大值是494，故选B ．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（10）【2016年四川，文10，5分】设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01,()ln ,1,x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与 2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是（ ）（A ）()0,1 （B ）()0,2 （C ）()0,+∞ （D ）()1,+∞ 【答案】A【解析】解法1：设11122212(,),(,)()P x y P x y x x <，易知11x <，21x >，121211,l l k k x x =-=，121x x ∴=，则直线1l ： 111ln x y x x =-+-，2221:ln 1l y x x x =+-，与y 轴的交点为12(0,1ln ),(0,ln 1)x x --，设21a x =>，则交点横坐标为21a a+，与y 轴的交点为(0,ln 1),(0,ln 1)a a +-，则1222112PAB S a a a a ∆=⨯⨯=++，故(0,1)PAB S ∆∈ 解法2：特殊值法，若121x x ==，可算出1PAB S ∆=，1x ≠，故1PAB S ∆≠，排除BC ；令121,22x x ==，算出1PAB S ∆<，故选A ，故选A ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2016年四川，文11，5分】sin750︒= ．【答案】12【解析】由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin302︒=︒+︒=︒=． 【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．（12）【2016年四川，文12，5分】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．【答案】33【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为123132S =⨯⨯=，高为1，三棱锥的体积为11331333V Sh ==⨯⨯=．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题． （13）【2016年四川，文13，5分】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则log a b 为整数的概率= ________． 【答案】16【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． （14）【2016年四川，文14，5分】若函数()f x 是定义R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则()522f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭_______．【答案】2-【解析】∵函数()f x 是定义R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，∴()()200f f ==，12551124422222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()522022f f ⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键． （15）【2016年四川，文15，5分】在平面直角坐标系中，当(),P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222,y x P x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】②③【解析】对于①，若令()1,1P ，则其伴随点为11,22P ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，而11,22P ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的伴随点为()1,1--，而不是P ，故错误；对于②，设曲线(),0f x y =关于x 轴对称，则(),0f x y -=对于曲线(),0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222,0y xf x y x y⎛⎫-= ⎪++⎝⎭与2222,0y x f x y x y⎛⎫--= ⎪++⎝⎭也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为2222,0y x f x y x y ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭与2222,0y x f x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭的图像关于y 轴对称，所以正确；对于③，令单位圆 上点的坐标为()cos ,sin P x x 其伴随点为()sin ,cos P x x '-仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222,y x x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭消参后轨迹是圆，故错误．所以正确的序号为②③． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力． 三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2016年四川，文16，12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，……[]4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数． 解：（1）∵()10.080.160.400.520.120.080.040.5a a =++++++++⨯，整理得：2 1.42a =+，解得：0.3a =． （2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为()0.120.080.040.50.12++⨯=，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为300.12 3.6⨯=万．（3）根据频率分布直方图，得；0.080.50.160.50.300.50.420.50.480.5⨯+⨯+⨯+⨯=<<，0.480.50.520.740.5+⨯=>，∴中位数应在(]2,2.5组内，设出未知数x ，令0.080.50.160.50.300.50.420.50.520.5x ⨯+⨯+⨯+⨯+=，解得0.038x =；∴中位数是20.038 2.038+=．【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=⨯频率组距组距，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型． （17）【2016年四川，文17，12分】如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，PA CD ⊥，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==．（1）在平面PAD 内找一点M ，使得直线//CM 平面PAB ，并说明理由； （2）证明：平面PAB ⊥平面PBD ． 解：（1）解法1：M 为PD 的中点，直线//CM 平面PAB ．取AD 的中点E ，连接CM ，ME ，CE ， 则//ME PA ，∵ME ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴//ME 平面PAB ．∵//AD BC ， BC AE =，∴ABCE 是平行四边形，∴//CE AB ．∵CE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴//CE 平面PAB ．∵ME CE E =，∴平面//CME 平面PAB ，∵CM ⊂平面CME ，∴//CM 平面PAB ． 解法2：取棱AD 的中点M （M ∈平面PAD ），点M 即为所求的一个点．理由如下：因为//AD BC ，12BC AD =，所以//BC AM ．所以四边形AMCB 是平行四边形，从而//CM AB ．又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ． （说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点）．（2）∵PA CD ⊥，90PAB ∠=︒，AB 与CD 相交，∴PA ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，由（1）及12BC CD AD ==，可得45BAD BDA ∠=∠=︒，∴90ABD ∠=︒，∴BD AB ⊥，∵PA AB A =，∴BD ⊥平面PAB ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAB ⊥平面PBD ．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．（18）【2016年四川，文18，12分】在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，且cos cos sin A B Ca b c+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．解：（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可知原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+==，∵A 和B 为三角形内 角 ，∴sin sin 0A B ≠，则两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B +=， 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-=，原式得证．（2）由题22265b c a bc +-=，根据余弦定理可知，2223cos 25b c a A bc +-==，∵A 为为三角形内角，()0,A π∈，sin 0A >，则4sin 5A =，即cos 3sin 4A A =，由（1）可知cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==，∴cos 11sin tan 4B B B ==， ∴tan 4B =．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．（19）【2016年四川，文19，12分】已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S S +=+，其中0q >，n N +∈．（1）若2a ，3a ，23 a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212 n e e e ++⋯+．解：（1）由已知，1211,1nn nnS qS S qS ，两式相减得到21,1nn a qa n ．又由211S qS 得到21a qa ，故1nn a qa 对所有1n 都成立．所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列．从而1=n n a q ．由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ，所以32=2,a a ，故=2q ．所以1*2()n na n N ．（2）由（1）可知，1n na q．所以双曲线2221n y xa 的离心率22(1)11nn n e a q ． 由2212e q 解得3q．所以，22222(1)12(11)(1+)[1]n n e e e q q222(1)211[1](31)12nn nq nq q nn q ． 【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中0q >这一条件．（20）【2016年四川，文20，13分】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上．（1）球椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅． 解：（1）由已知，2a b =．又椭圆()222210x y a b a b +=>>过点12P ⎫⎪⎭，故2213414b b +=，解得21b =． 所以椭圆E 的方程2214x y +=．（2）设直线l 的方程为()102y x m m =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，由方程组221412x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222220x mx m ++-= ① 方程①的判别式为()242m ∆=-，由0∆>，即220m ->，解得m <．由①得122x x m +=-，21222x x m =-．所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为12y x =-，由方程组221412x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭．所以)()2524MC MD m m m -=-．()()()()()222222212121212115554442224416164MA MB AB x x y y x x x x m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-+-=+-=--=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以MA MB MC MD ⋅=⋅．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．．（21）【2016年四川，文21，14分】设函数()2ln f x ax a x =--，()1x eg x x e=-，其中a R ∈， 2.718e =⋯为自然对数的底数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当1x >时，()0g x >；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间()1,+∞内恒成立．解：（1）()()212120ax f x ax x x x-'=-=>．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，由()0f x '=，有x =当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增． （2）令()1s e x x x -=-，则()1s e 1x x -'=-．当1x >时，()'0s x >，所以1e x x ->，从而()1110ex g x x -=->． （3）由（2），当1x >时，()0g x >．当0a ≤，1x >时，()()21ln 0f x a x x =--<．故当()()f x g x >在区间()1,+∞内恒成立时，必有0a >．当102a <<1>．由（1）()10f f <=，从而0g >，所以此时()()f x g x >在区间()1,+∞内不恒成立．当12a ≥时，令()()()h x f x g x =-()1x ≥．当1x >时，'()h x =()122111112e xh x ax x x x x x x-'=-+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>．因此()h x 在区间()1,+∞ 单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立．综上，1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．。