新初二等腰三角形基本概念与性质-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN个性化教学辅导教案教师姓名 学生姓名 上课时间 学科数学年级新初二教材版本浙教课称名称 等腰三角形基本概念与性质教学目标1、认知目标：⑴使学生理解掌握等腰三角形的性质定理及其推理。

⑵学会运用等腰三角形的性质解决有关证明和计算问题； 2、能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力； 教学重点 教学难点课 堂 教 学 过 程-等腰三角形(★★★)1、掌握等腰三角形的判定级基本性质；2、会运用‘‘三线合一’’性质进行解题；知识结构（－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出等腰三角形的概念和性质（★★★）已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2B AC ∠=∠。

A 1 2D BCE 3解析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。

证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB = 所以BAC 2121∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠又AB CD ⊥，所以 90CDB =∠所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余）所以31∠=∠（同角的余角相等） 即DCB 2B AC ∠=∠（★★★）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个A 36° E DFBC解析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C 。

（★★★）如图，ABC ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

AD1 B 2E FC解析：从要证明的结论出发，在BC 上截取B D B F =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取B A B E =，连结DE ，易得，则有FD A D =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。

证明：在BC 上截取B D B F B A B E ==，，连结DE 、DF 在AB D ∆和EB D ∆中，B D B D 21B E B A =∠=∠=，，80DEF 100A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴，又 100A AC AB =∠=，40)100180(21C ABC =-=∠=∠∴ 20402121=⨯=∠=∠∴ 而B F B D =80)20180(21)2180(21BDF BFD =-=∠-=∠=∠∴ AD BD FC BF BC FCDF DE AD FCDF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DFDE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴，即B C B D AD =+（★★★）如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB 。

求∠A的度数。

解析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。

解：设∠A=x ，∠EBD=y ，∠C=z ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=z ∵BD=BC ∴∠C=∠BDC=z ∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=90°A B CDE xyzx y z∵AD=DE ∴∠A=∠AED=x又∵∠BDC=∠A+∠ABD ，∠AED=∠EBD+∠EDB （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）∴⎪⎩⎪⎨⎧=+++==1802z z x y x z y x 解得x=45° 即：∠A=45°（★★★）已知：如图，∠C=90°，BC=AC ，D 、E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点。

求证：△MDE 是等腰三角形。

分析：要证△MDE 是等腰三角形，只需证MD=ME 。

连结CM ，可利用△BMD ≌△CME 得到结果。

证明：连结CM ∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M 是AB 的中点∴CM 平分∠BCA （等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） ∴∠MCE=∠MCB=21∠BCA=45° ∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB （等角对等边） 在△BDE 和△CEM 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CM BM MCE B CE BD ∴△BDM ≌△CEM （SAS ） ∴MD=ME ∴△MDE 是等腰三角形AB CDEM1：等腰三角形中，在计算角的度数时往往是设其中一个角为X度，然后用X表示其他角，利用三角形的内角和为180度来解出X。

计算边长时也是如此。

但要注意分类讨论的情况，同时还要注意检验三角形的两边之和大于第三边。

2：在证明线段或角度相等时，常用的方法就是证全等，在找全等的条件时要与等腰三角形的性质结合起来。

要时刻注意等腰三角形2腰相等，2底角相等，最重要的是"三线合一"的性质。

我来试一试！如图，在ABC∆中，ACAB=，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。

求证：点O在BC的垂直平分线上。

分析：欲证本题结论，实际上就是证明OCOB=。

而OB、OC在ABC∆中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有21∠∠、的两个三角形全等。

证明：因为在ABC∆中，ACAB=所以ACBAB C∠=∠（等边对等角）又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以EBDC=（中线定义）在BCD∆和CBE∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)(CBBC)(EBCDCB)(EBDC公共边已证已证所以)SAS(CBEBCD∆≅∆所以21∠=∠（全等三角形对应角相等）。

所以OCOB=（等角对等边）。

即点O在BC的垂直平分线上。

1、如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= 25 度。

D2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是45 度。

3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC的度数为 30 度。

4、如图，AM、BN分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AM=BN=AB，则∠BAC的度数为12度。

M5、如图，在△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MN=NA ，若 ∠BAM=∠NAC ，则∠MAC= 60 度。

6、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=0.5（AB+AD ），则∠ ABC+∠ADC 的度数是 180 度。

（★★★）如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

AD1 BM C E解析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。

因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝21∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝21∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）（★★★）如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

ABCD解析：题中所要求的BAC ∠在ABC ∆中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。

因此需要考虑DB AD =和CA DC =在题目中的作用。

此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。

因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。

解：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 因为DB AD =，所以C DAB B ∠=∠=∠；因为CD CA =，所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角） 而 DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22， 所以B 3B AC ∠=∠又因为 180=∠+∠+∠BAC C B即 180B 3C B =∠+∠+∠ 所以 36B =∠ 即求得 108BAC =∠（★★★★）如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。

CA 1DB2 3解析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

解：因为ABC ∆是等边三角形所以 60ABC BC AB =∠=，因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠在AB D ∆中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠（★★★★）ABC ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。

E A 3 1 2 D BFC证明：过点A 作BC 边的垂线AF ，垂足为F 。

在ABC ∆中， 120BAC AC AB =∠=， 所以 30C B =∠=∠所以BC 21BF 6021==∠=∠， （等腰三角形三线合一性质）。

所以 603=∠（邻补角定义）。

所以31∠=∠又因为ED 垂直平分AB ，所以 30E =∠（直角三角形两锐角互余）。

AB 21AD =（线段垂直平分线定义）。

又因为AB 21AF =（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。