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等腰三角形的性质定理和判定定理

综合应用题:
例3.已知:如图,AC和BD相交于点O,AB∥CD,OA=OB,求证:OC=OD
证明:∵AB∥CD(已知)
∴∠A=∠C,∠B=∠D(两直线平行,内错角相等)
∵OA=OB(已知)
∴∠A=∠B(等边对等角)
∴∠C=∠D(等量代换)
∴OC=OD(等角对等边)
例4.如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,试判断DC与AC的位置关系,并证明你的结论。
求证:BD=CE
证明:∵BD,CE是△ABC的中线
∴AE= AB,AD= AC
∵AB=AC
∴AE=AD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
说明:这是一个证明文字叙述的几何命题的题目,做这类题时首先要分清题设,结论,画出草图,结合图形写出:已知、求证、然后再证明。
(4)定理的作用:证明同一个三角形中的边相等。
说明:①本定理的证明还有其他证明方法(如作顶角的平分线)。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:1、利用定义2、利用定理。
【典型例题分析】
基础知识应用题:
例1.如图,已知P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=AP=AQ=QC,求∠BAC的度数。
解:∵AP=PQ=AQ(已知)
∴△APQ是等边三角形(等边三角形的定义)
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°(等边三角形的性质)
∵AP=BP(已知)
∴∠PBA=∠PAB(等边对等角)
又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°
∴∠PBA=∠PAB=30°
同理∠QAC=30°
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°
∴△ACN≌MCB(SAS)
∴AN=BM
(2)由(1)中△ACN≌△MCB
∴∠ANC=∠MBC
在△CEN和△CFB中
∴△CEN≌△CFB(ASA)
∴CE=CF
又∵∠ECF=60°
∴△CEF为等边三角形
例7.下面是数学课堂的一个学习片断,阅读后,请回答下面的问题:
学习等腰三角形有关内容后,苏老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知,等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后,李明举手讲:“其余两角30°和120°,”卫华同学说:“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……
知识3:等腰三角形的判定定理
(1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)
(2)符号语言:在△ABC中
∵∠B=∠C∴AB=AC
(3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC
等腰三角形的性质定理和判定定理
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一.本周教学内容:
等腰三角形的性质和判定
二.教学目标:
(一)知识与技能:
(1)掌握等腰三角形的性质定理和判定定理,并会灵活运用。
∠BED+∠DEF+∠FEC=180°(平角性质)
∠B=∠DEF(已知)
∴∠BDE=∠FEC(等角的补角相等)
在△BED和△CFE中
∠BDE=∠FEC中(已证)
BD=CE(已知)
∠B=∠C(已知)
∴△BED≌△CFE(ASA)
∴DE=EF(全等三角形对应边相等)
∴△DEF是等腰三角形(等腰三角形定义)
(2)符号语言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C
(3)证明:取BC的中点D,连接AD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)
(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2:等腰三角形性质定理2
(1)文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)
证法一:证明:作DE⊥AB于E
∵DA=DB
DE⊥AB
∴AE=BE=
∵AB=2AC
∴AE=AC
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD
∴∠C=∠AED=90°
∴DC与AC的位置关系为:DC⊥AC
证法二:证明:延长AC到F,使CF=AC,连结DF
∵AB=2AC,AF=2AC
∴AB=AF
在△ABD和△AFD中
(2)能用上述结论进行分析与说理,进行初步的逻辑思维训练,形成一定的推理能力。
(二)情感态度与价值观:
通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。
三.重点、难点:
重点是等腰三角形的性质定理和判定定理
难点是利用定理解决实际问题
四.教学过程:
(一)知识梳理
知识点1:等腰三角形的性质定理1
(1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)
解答此类题的步骤如下:
(1)利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
(2)利用三角形内角和定理,确定等量关系,借助等式或方程求解。
例2.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别为AB,BC,AC上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B。
求证:△DEF是等腰三角形。
证明:∵∠B+∠BDE+∠BED=180°(三角形内角和定理)
(2)符号语言:
∵AB=AC∵AB=AC∵AB=AC
∠1=∠2 AD⊥BCBD=DC
∴AD⊥BC,BD=DC∴∠1=∠2∴∠1=∠2
BD=DCAD⊥BC
(3)定理的作用:可证明角相等,来自段相等或垂直。说明:在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。
∴△ABD≌△AFD
∴DF=DB
∵DA=DB
∴DA=DF
又∵AC=CF
∴DC⊥AF
说明:法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE= AB
法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB,从而达到解决问题的目的。
例5.求证:等腰三角形两腰上的中线相等
解:已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的中线
例6.如图,点C为线段AB上的一点,△ACM,△BCN是等边三角形,AN,MC相交于点E,CN与BM相交于点F。
(1)求证AN=BM
(2)求证△CEF为等边三角形
证明:(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形
∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠NCB=60°
∴∠ACN=∠BCM=120°
在△ACN和△MCB中
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