O a x1 x2
x3 x4 b x
【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?
问题:f (x)全部零点或不可导点一定是极值点吗？
y
y
o
x0
xo
x0
y
y
x (是极值点情形)
y
o
x0
xo
x0
xO
x0
x
(不是极值点情形)
驻点只是函数的极值可 疑点.
使得函数导数不存在的点也是极值可疑点.
➢观察与思考：
在 (, 2) , (2, )内单调增加； 在 (2, 0) , (0, 2)内单调减少.
列表可使问题明朗化
【复习与思考】
二、导数的简单应用
1. 导数在几何中的简单应用 (1) 求曲线 y f (x) 在某点处的切线方程和法线方程. (2) 求两条相交的曲线在交点处的交角.
2. 导数在物理学中的简单应用 (1) 求物体运动的速度、加速度或变量的变化率. (2) 求变量间的相关变化率.
O
x0
x
练习 讨论 y 2x 8 的单调性. x
解 1.定义域 : (, 0) (0, )
2. y 2 8 x2
2 x2
(x2
4)
3.令 y 0 , 得 x12, 0) 0 (0, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
5. 综上所述, 函数 y 2x 8 x
函数极值怎么定义？ 有谁来说一说.
极值定义请同学们自己看书.
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)<f(x0)，则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值。记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小，即f(x)>f(x0)，则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0)
解 (1) 函数的定义域为( )
(2) f (x) x2e –x (3 x)
(3)导数为零的点为x10 ，x２3, (4)列表分析
极大值与极小值统称为极值，
x0叫做函数的极值点。
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f (x2)
O a x1 x2
x3 x4 b x
观察上述图象，试指出该函数的极值点与极值， 并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。
【关于极值概念的几点说明】
(1)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点 不能成为极值点;
练习
2
２1５ 确定函数f(x) x 3 x 3 的单调区间和极值
2
解 (1) 函数的定义域为
(2) f (x)
(3)导数为零的点
(4)列表分析
x ？ ？？
？
f (x)
f (x)
,不可导点为
(5)函数f(x)在区间(
] 单调减少
在区间[ )上单调增加 极小值 f ( )
例２1４ 确定函数f(x) x3e -x的单调区间和极值
(5)求出极值点处的函数值，得到极值.
四、例题讲解 例1 讨论 y 2x 8 的单调性.极值 x
解 1.定义域 : (, 0) (0, )
2. y 2 8 2 (x2 4)
x2
x2
3.令 y 0 , 得 x1 2 , x2 2 ,
４. x ( , 2) 2 (2, 0) 0 (0, 2) 2 (2, )
如何找极值点？ 找单调上升，下降分界点
y
y f (x)
✓导数等于零的点和不可导点.
f (x)全部零点(驻点)或不可导点
o x2 x3
x4
x5 x6 b x
极值判可断疑点
请同学总结求极值的步骤
三.求函数y = f (x)极值的一般步骤是：
（1）确定函数的定义域 (2) 求导数 f (x); (3)找出所给函数的驻点和导数不存在的点； (4)顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列 成表格,考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；
f (x)
＋ ０ －０ ＋
f (x)
↗
(5)函数f(x)
极 大
↘
值
极
小 值
↗
极大值 f (1) 2,
y2x39x212x3
极小值 f (2) 9.
练习：见习题册2.13
2．13、求函数 f (x) 3 2x x2 2 的极值和单调区间．
解 定义域 ,, f (x) 2 2 - 2x 令f (x) 0 x 1 3 3 2x x2
第三章第三讲 函数的极值与导数
【复习与思考】
一、函数的单调性与导数符号的关系
导数大于零f (x)>0 ，函数f (x)单调增加 导数小于零f (x)<0 ，函数f (x)单调减少。
y
f (x)=0
f (x)>0
f (x)>0 f (x)>0 f (x)>0
f (x)<0 f (x)<0
f (x)<0 f (x)<0
３。求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45角发射炮弹 时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
【函数极值】
一、函数极值的定义
y
y f (x)
称为极值点
a x1 o x2
称f (x2)为极y大值
x4
b x5 x6
x
y
极小值f (x１)
o
x 2
x
o
x
6
x
函数的极大值与极小值统称为极值,使函 数取得极值的点称为极值点.
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一点 附近的大小情况。
【问题探究】
问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f (x2)
y
0
0
y
极 大
极 小
值
值
5. 极大值 f (2) 8, 极小值 f (2) 8.
例２ 确定函数f(x)2x39x212x3的极值
解 (1) 函数的定义域为( )
(2) f (x)6x218x126(x1)(x2) １
(3)导数为零的点为x11、x22 (4)列表分析
x ( 1) 1 (1 2) 2 (2 )
f (x)不存在点为 x 0、x 2
x ,0 0 (0,1) 1
f (x)
不存在 0
(1,2) 2 2,
不存在
f (x) 极小值 极大值 极小值
极大值f(1)=1, 极小值f (0) 0、f (2) 0
单调增加区间 (0,1) (2,), 单调减少区间 (-,0) (1,2)