第十二讲 基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则：（1）rsr sa a a+=；（2）()sr rs aa =；（3）()rr rab a b =；（4）mna =（5）m na-=（6,||,a n a n ⎧=⎨⎩奇偶2). 指数函数：形如(01)xy a a a =>≠且2.1）对数的运算：1、互化：N b N a a b log =⇔=2、恒等：N aNa =log3、换底： ab bc c a log log log =推论1 ab b a log 1log =推论2 log log log a b a b c c ∙= 推论3 log log m na an b b m=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log +=log log log aa a MM N N=- 5、M n M a n a log log ⋅= 2）对数函数：3.幂函数一般地，形如 ay x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质：(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。

四：典型例题考点一：指数函数例1 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．例2 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-． ∴当1a >时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤．∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）； 当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1a t a ≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 例4 求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调区间.分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31为减函数∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减，当x ∈(-∞，23)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［23，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.考点二：对数函数例5 求下列函数的定义域 （1）y=log 2（x 2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x ）（3）y= ．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为 ｛x ｜x ＜-1，或x ＞5｝．（2）令 得故所求定义域为｛x ｜-1＜x ＜0，或0＜x ＜2｝．（3）令，得故所求定义域为｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝．说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．例6比较大小：（1）log0．71．3和log0．71．8．（2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．例7已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y 取最大值时，x的值．分析要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．解：∵f（x）=2+log3x，∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（2+log 3x ）2+2+2log 3x =log 23x+6log 3x+6 =（log 3x+3）2-3．∵函数f （x ）的定义域为［1，9］，∴要使函数y=［f （x ）］2+f （x 2）有定义，就须⎩⎨⎧≤≤≤≤91912x x ，∴1≤x≤3． ∴0≤log 3x≤1 ∴6≤y=（log 3x+3）2-3≤13∴当x=3时，函数y=［f （x ）］2+f （x 2）取最大值13．说明 本例正确求解的关键是：函数y=［f （x ）］2+f （x 2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．其实我们还能求出函数y=［f （x ）］2+f （x 2）的值域为［6，13］． 例8 求函数y=log 0．5（-x 2+2x+8）的单调区间．分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x 2+2x+8（-2＜x ＜4）的单调性相反．解．∵-x 2+2x+8＞0， ∴ -2＜x ＜4，∴ 原函数的定义域为（-2，4）．又∵ 函数u=-x 2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数， ∴函数y=log 0．5（-x 2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数． 评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．考点三：幂函数 例9．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.265.26-->；综上，1125.255.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<例10．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．例11、求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．五：课后练习1、若a ＞1在同一坐标系中，函数y=ax-和y=logx a的图像可能是（ ）A B C D 2．求值40625.0+416-（π）0-3833= 3. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案：Ｂ4.已知x=21,y=31,求y x y x -+-yx y x +-的值 5．若a 21＜a 21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C6.下列式子中正确的是（ ）A log a)(y x -=log ax-log ayByax a log log =log x a -log yaC yax a log log =log yx a D log ax-log ay= log yx a。