双曲线的简单几何性质
一．基本概念
1 双曲线定义：
①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹
（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
2、双曲线图像中线段的几何特征：
⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c =
⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+
⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+
⑷焦点到准线的距离：22
11221221 a a F K F K c F K F K c c c
==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2
122a K K c
=
⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将
有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122
12
cot
2
PF F F PF S b ∆∠=
⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）
⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b
⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a
（通径长的一半）其中2
22b a c +=a PF PF 221=-
3 双曲线标准方程的两种形式：
①22
a x －22
b y =1，
c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22
b x =1，
c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ）
4、双曲线的性质：22
a x －22b
y =1（a ＞0，b ＞0）
⑴范围：|x |≥a ，y ∈R
⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：
①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a
b
y ±=
②若渐近线方程为x a
b
y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x
③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x
（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）
④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，
此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2
2y x ；y =
a b x ，y =－a
b x ⑸准线：l 1：x =－
c a 2，l 2：x =c a 2
，两准线之距为2
122a K K c
=⋅
⑹焦半径：2
1()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；
2
2()a PF e x ex a c
=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；
当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b
y a x )0(≠λ
⑻与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，
当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。

⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x 轴的弦长）为2
2
a
b 。

⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。

⑿注意两类特殊的双曲线
一类是等轴双曲线：其主要性质有：a b =，离心率e =一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。

等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。

二．例题选讲
【例1】若00(,)M x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右支上时，证明：
10||MF ex a =+，20||MF ex a =-
变式1：若00(,)M x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左支上时，
证明：10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
变式2：（2010江西理）点在双曲线的右支上，若点A 到右焦点的距离等于，则= 解：a==6,,
变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3， 则M 到双曲线右焦点的距离是__________ 解：，为点M 到右准线的距离，=2，MF=4。

变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 ( ) A ． B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB 的斜率为,知直线AB 的倾斜角, 由双曲线的第二定义有.
又 .
【例2】双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，
求证：（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为122
t 2
F PF S b co θ∆=.
变式：（2010全国1文）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒
∠=，
则
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 解1：由余弦定理得cos ∠P=
4 解2：由焦点三角形面积公式得：
，
4
变式2：（2010全国1理）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒
∠=，
则P 到x 轴的距离为
(A) (B) (C) (D)
【例3】设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，
在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，证明：sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
【例4】证明：与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b
y a x )0(≠λ
变式1：证明：与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x
变式2：根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线22
1916
x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）
分析：设双曲线方程为22
a x －22b
y =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，
由题意易得关于a 、b 的两个方程
解法一：（1）设双曲线的方程为22
a x －22
b y =1
，由题意得22
43(3)1
9
16b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得a 2=49，b 2
=4 所以双曲线的方程为492
x －42y =1
（2）设双曲线方程为22a x －22b y =1，由题意易求c =25，又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2
4
b
=1 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2
=8，故所求双曲线的方程为122x －8
2y =1
解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41
，
所以双曲线方程为92x －162y ＝4
1
（2）设双曲线方程为k x
-162
－k
y +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1
点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，
并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2
=λ（λ≠0）
【例5】在等轴双曲线中，
证明：（1
）其离心率e = （2）两条渐近线互相垂直；
（3）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

变式：双曲线122
22=-b
y a x 与双曲线12222=-a x b y 互为共轭双曲线，
证明：（1）共轭双曲线有共同的渐近线；
（2）它们的四个焦点共圆；
（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.。