(4) 3a2b2 6a2b3 27 ab 4
= 1 (12a2b2 24a2b3 27ab) 4
= 3 ab(4a2b 8ab2 9). 4
注：n 为偶数时， (b a)n (a b)n ；n 为奇数时， (b a)n (a b)n .
二、 公式法： (1)平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) (2)完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2 ； a2 2ab b2 (a b)2 (3)三项和完全平方公式： a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 (4)完全立方公式： a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3 ； a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3 (5)立方和公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ；立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) (6) an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) (n 为正整数) (7) an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) (n 为正奇数) (8) a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
三、分组分解法
例题 7：将下列各式分解因式
(1) x2 2x y2 2 y ；
(2) x2 y2 6x 9 .
(x2 y2) 2x 2y (x y)(x y) 2(x y) (x y)(x y 2)
(x2 6x 9) y2 (x 3)2 y2 (x 3 y)(x 3 y)
总结：四项式分组分解：① 二二分组 (分组后要有公因式) ②三一分组 (当式子中有 3 个平方项，且其中两个平方项同号)
例题 8：将下列各式分解因式
(1) x2 3xy 2 y2 2x 4 y
(2) x2 8xy 16y2 3x 12y 28
(x 2 y)(x y) 2(x 2 y) (x 2 y)(x y 2)
因式分解
一、 提公因式2 y3 10x2 y ；
(2) ab2c 2a2bc2 5ab3c2 ；
5x2 y( y2 2)
abc(b 2ac 5b2c)
(3) a(a b)2 b(b a)3 a(a b)2 b(a b)3 (a b)2(a ab b2)
例题 9：分解因式 a4 a 3 9 a2 a 1 b2 4
解：原式＝ a2
a
2
a
9 4
1 a
1 a2
b
2
a2
a
2
2
1 a2
a
1 a
1 4
b2
＝
a2
a
1 a
1 2 2
b2
a
a
1 a
1 2
b
a
a
1 a
1 2
b
＝
a2
1
a 2
b
a2
1
a 2
b
例题 10： 2x4 x3 6x2 x 2
中两次十字相乘就可以确定算式中的 6 个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把 同一列的两个数的位置交换一下．
双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次 六项式的多项式的因式分解． 3、双十字相乘法的步骤：
例题 5： 8x3 27 y3 36x2 y 54xy2 解： 8x3 36x2 y 54xy2 27 y3 =（2x)3 3(2x)2 (3y) 3(2x)(3y)2 (3y)3 (2x 3y)3
例题 6： 64a6 48a4 12a2 1 解：原式= (4a2 )3 3 (4a2 )2 1 3 (4a2 ) 12 13 = (4a2 1)3 = (2a 1)3(2a 1)3.
＝x2－(2y＋1)x－2(4y＋3)(y＋1) ＝(x－4y－3)(x＋2y＋2) 解法二：原式＝(x－4y)(x＋2y)－(x＋14y)－6 ＝(x－4y－3)(x＋2y＋2)
解法三：原式＝(x－4y－3)(x＋2y＋2)
x －4y －3
x
2y
2
2、双十字相乘法 以上解法三称为双十字相乘法，也叫长十字相乘法．式中的三个十字叉实际是三次十字相乘．其
(2) 4x2 y2 4xy
(3) (a b)2 6(a b) 9
x2 2x 7 72 (x 7)2
(2x)2 2 2x y y2 (2x y)2
(a b)2 2 3(a b) 32 (a b 3)2
3. 公式法综合 例题 4： (x2 1)(x4 x2 1) (x3 1)2 解：原式 x6 1 (x6 2x3 1) 2(x3 1) 2(x 1)(x2 x 1)
(x 4 y)2 3(x 4 y) 28 (x 4 y 7)(x 4 y 4)
总结： (1)五项式：三二分组，其中三项组可以完全平方或十字相乘分解. (2)六项式：一般用三二一分组，三项组为完全平方或十字相乘分解，然后再十字相乘分解.
四、拆项与添项
1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项． 2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项．
1. 平方差公式
例题 2：将下列各式分解因式
(1) 2x3 8x
2（x x2 4) 2x(x 2)(x 2)
(2) (a b)2 4a2
(a b 2a)(a b 2a) (3a b)(b a)
2. 完全平方公式
例题 3：将下列各式分解因式
(1) x2 14x 49
解：原式=
x2
2
x
2
x
6
1 x
2 x2
x2
2
x
12 x
x
1 x
10
令 x 1 y ，则 x
原式= x2
2 y2 y 10
x2
2y
5y
2
x2
2
x
1 x
5
x
1 x
2
2x2 5x 2x2 2x 1 2x 1x 2 x 1 2
五、双十字相乘法
1、分解因式：x2－2xy－8y2－x－14y－6． 解法一：原式＝x2－(2y＋1)x－(8y2＋14y＋6)