因式分解的方法(初中版)
因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。
下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例一：2
2x -3x=0
解：x(2x-3)=0
1x =0,2x =3/2
这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：2x -4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把22x -7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 原式=(x-3)(2x-1).
总结：对于二次三项式2
ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下：
1a 1c
╳
2a 2c
1221c a c a
按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式2ax +bx+c 的一次项系数b ，即1221c a c a +=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积，即
2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).
这种方法要多实验，多做，多练。
它可以包括前两者方法。
4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来
需要可持续性！
例四：2244y x x -++
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式 解：原式=22)2(y x -+
=(x+2+y)(x+2-y)
总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。
5】换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例五：1)(2)(2++-+y x y x 分解因式
考虑到x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a 代替x+y
那么原式=2
a -2a+1
=2)1(-a
回代
原式=2)1(-+y x
6】主元法
这种方法要难一些，多练即可
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数
例六：4
222)1()1(216x y y x y -+++
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y 为主元会使原式极其烦琐，
而以x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。
原式=y x y x y 16)1(2)1(2242+++----------------------【主元法】
=)2)(82(22222+++-x y x y x y x ---------------------【十字相乘法】
可见，十字相乘十分重要。
7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。
是用来分解形如f ey dx cy bxy ax +++++22的二次六项式
在草稿纸上，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq ＋np ＝b ，pk ＋qj ＝e ，mk ＋nj ＝d ，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。
则原式＝（mx ＋py ＋j ）（nx ＋qy ＋k ）
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例七：22
--++b a b ab 分解因式
解：原式＝0×1×2a ＋ab ＋2b ＋a －b －2
＝（0×a ＋b ＋1）（a ＋b －2）
＝（b ＋1）（a ＋b －2）
8】待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入
这时就要用到1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式
例八：2
x +x-2
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做，2x +x-2=0
一眼看出，该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）
一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）
所以另一因式为（x+2）
分解为(x-1)(x+2)
9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。
原理和小学的除法差不多。
要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候，一定要让第一项抵消
例九：25323-+x x 分解因式
提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）
3x+2x-2)
那么该式分解为（x+1）(2
因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。
考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。
2)
2
-
+
b
ab+
)
a
(b
(
2)
2
2
2
a-
x
-
ax
-
4
x
)
(
(a
2
39
2
2
2
3
2
c
b
a
-
a+
6
b
3c
ab
c
xy＋6－2x－3y
2)
2
b
a+
a
b
-
-
a
-
+
+
3(b
)
(4
3
b
3
)(
)
a
3(4
(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)
12x^2－29x＋15
x(y＋2)－x－y－1
3244422---++y x y xy x
21120132234++++x x x x
3355227222-+---y x y xy x
22384n mn m ++
15442-+n n
5ax+5bx+3ay+3by
12a 2b(x －y)－4ab(y －x)
(x －1)2(3x －2)＋(2－3x)
x 2－11x ＋24
y 2－12y －28
x 2＋4x －5
y 4－3y 3－28y 2
蚊子与牛一样重
从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。
有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。
它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b ，则有：
a 2－2a
b ＋b 2=b 2－2ab ＋a 2
左右两边分别因式分解为：(a －b)2=(b －a)2
从而就有：a －b=b －a
移项，得：2a=2b,
即a=b
蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！
①请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？
②讲这个例子的目的何在？。