最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。
所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。
从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，
在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一
平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数
问题解决.
4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方
向量 向量的概念
向量的运算
向量的运用
向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件
数系的扩充与 复数的引入
复数的概念
复数的运算
数系的扩充
O
A
P
Q
B
a
b
第4题
法.
第1课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】
1.出下列命题：①若，则；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是
且；⑤若，，则。
其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简得
3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，
则四边形ABCD 为梯形
4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，
若＝a ，＝b ，则＝，
＝ (用a 、b 表示)
【范例导析】
例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：.
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，
由和可得， （1） 由和可得， （2） （1）+（2）得， （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴，，
=a b =a b DC AB =,==a b b c =a c =a b =a b //a b //a b //b c //a c AC -BD +CD -AB 0AB BC CD OA OB OP 21
33+a b OQ 12
33
+a b 2AB DC EF +=EA AB EB +=EF FB EB +=EA AB EF FB +=+ED DC EC +=EF FC EC +=ED DC EF FC +=+2EA ED AB DC EF FB FC +++=++0EA ED +=0FB FC += D
C E F
A
例1
代入（3）式得，
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例2.已知不共线，,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若A,P,B 三点共线，则存在实数
，使得,即
,∴∵,∴
，∴
再证充分性：若则==,∴
与共线，∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】
1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）
A. |a |－|b |=|a －b |
B. |a |－|b |=|a +b |
C.|a |＋|b |=|a －b |
D. |a |＋|b |=|a +b |
2.设四边形ABCD 中，有则这个四边形是（C ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：
①， ②， ③。
解析：①原式= ； ②原式= ；
③原式= 。
4.设为未知向量， 、为已知向量，满足方程2-(5+3-4)+
-3=0， 则=（用、表示） 2AB DC EF +=,OA OB OP aOA bOB =+1a b +=λAP AB λ=()
OP OA OB OA
λ-=-()1,OP OA OB λλ=-+OP aOA bOB
=+1,a b λλ=-= 1.a b +=1.a b +=AP OP OA =-()()
1a OA bOB b OB OA -+=-bAB AP AB 1
,2
DC AB AD BC =
=AB BC CD ++DB AC BD ++OA OC OB CO --+-()AB BC CD AC CD AD ++=+=()0DB BD AC AC AC ++=+=()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=x a b x x a x b 2
1
a b x 9
2
a b -
+a b
5.在四面体O -ABC 中，为BC 的中点，E 为AD 的中点，则=
（用a ，b ，c 表示） 6如图平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设
解：
.
第2课 向量的数量积
【考点导读】
1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.
2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.
3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.
4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，
，，则的可能值个数为2个
3. 若,，与的夹角为，若，则的值为
4.若，且，则向量与的夹角为 120° 【范例导析】
例1.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。
OA ,OB ,OC ,D a b c ===OE
111
244
a b c ++OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==试用表示()
()11111
BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666
a b ∴-15
OM=OB+BM 66
a b ∴=
+OD CD ON CD CN 3234,31==∴= ()
()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+11
MN=ON-OM 26
a b ∴=-,a b 0
603+=
a b 13xOy ,i j x y ABC 2=+AB i j 3=+AC i kj k 1=a 2=b a b 0
60(3+5)⊥a b ()-ma b m 238
||1,||2,===+a b c a b ⊥c a a b a b 0
1202,3=-=-c a b d b a c d 第6题。