图 1-2 传播圆：σ 圆与 π 圆
（2） π 圆
它们是通过侧焦点 Fl，同时与光轴相切的一些圆（见图 1-2）。切于光轴上 P 点处的 π 圆的直径 b 可用来确定该处的高斯光束的光斑尺寸 w，它可按下式计 算：
w = bλ π
（1-17）
通过作光轴上各点处的 π 圆，则可以确定光轴上各点处高斯光束的光斑尺寸。
⎧ exp⎨− i
⎩
2π λ
⎜⎜⎝⎛
z
+
x2 + y2 2R
⎟⎟⎠⎞⎭⎬⎫
（1-13）
在形式上是相同的（见图 1-1（a））。由此，我们可以将高斯光束等效于坐标原点 取在束腰处的旁轴复球面波（见图 1-1（b））。正是从这个意义上讲，高斯光束的 复参数 q 等效于复球面波的复半径。
以复半径表达的复球面波实际上是在有限空间内传播的电磁波场的一种基 本形式。由式（1-3）和式（1-8）不难证明，当 w 0 → 0 时，q→R，这时，式（1-12） 就过渡到式（1-13）。由此可知，以实半径表达的实球面波，仅仅是以复半径表 达的复球面波的一种特殊情况。它相当于 w0 = 0 的一种基本光学模。然而，w0 = 0 的基本光学模，从能量观点来看是没有实际意义的，因而实际上也是不存在的。 因此，以复半径表达的复球面波，即高斯光束，较之以实半径表达的实球面波更 具有普遍意义。
（1-10）
为束腰处的复参数。由式（1-8）、式（1-9）和式（1-10），我们不难导出式（1- 2） 和式（1-3）的关系。
将高斯光束的传播规律与通常发自点光源的球面波的传播规律进行比较，可 以看出其含义。我们知道，后者的传播规律可由如下式子描写：
R = R0 + z
（1-11）
此处 R0，R 分别为 r0 与 r0＋z 处的球面波的波面曲率半径（见图 1-1）。对比式（1-9） 和式（1-11）可以看出，高斯光束的复参数 q 类似有复数波面曲率半径的特点。 从图 1-1 的图示中我们可以更好地看出两者的传播规律的异同。事实上，利用式 （ 1 - 8 ）、 式 （ 1 - 1 0 ）、 式 （ 1 - 2 ）、 式 （ 1 - 3 ） 和 式 （ 1 - 4 ） 的 关 系 ， 可
[(2m +1)(2n +1)]12
（1-5）
倍；其衍射附加相移则以下式表之：
Φmn
=
(m + n
+
1)arctg⎜⎜⎝⎛
λz πw02
⎟⎟⎠⎞
（1-6）
在分析光学谐振腔输出的激光模时，如若我们得知了基模的传播特性，基于 上面所述，也就容易推知高阶模的传播特性。
在实际的激光应用中，我们更感兴趣的是基模激光束，因为它较之高阶模具 有最小的发散角：
1+ 1 =1 d d′ f
（1-21）
1 + 1 =1 d + R d′ − R′ f
（1-22）
此处 d 与 d ′ 分别为‘物’波面 R 与‘象’波面 R′ 与光轴的交点离薄透镜的距离， 前者在透镜的左方为正值，后者在透镜的右方为正值，否则为负值；R 与 R′ 分别 为波面 R 与 R′ 的曲率半径值；同时，还存在如下一个简单的物象变换关系：
此式表明，高斯光束在薄透镜 F 入射面处的波面曲率半径 R 按一般的球面波的 光学变换关系转变为出射面曲率半径 R′ 。在图 1-4 中示出上述变换关系的示意 图。
R
R'
w
w'
F
图 1-4 高斯光束通过一薄透镜 F 的变换关系之一的示意图
（2）光学模成象规律之二
一高斯光束通过一薄透镜 F 变换时，对于‘物’方高斯光束的任一‘物’波 面 R，均可在‘象’方找到与之对应的‘象’波面 R′ ，此‘物’、‘象’两波面在 光轴上的交点位置及其曲率中心的位置分别满足如下两个简单的物象变换关系：
§1.3 模象理论
在实际的激光谐振腔内常包含有透镜、类透镜和折迭反射镜等成象元件。因 此，有必要弄清高斯光束通过透镜的变换规律，才能更好地分析光学谐振腔的光 模特性。
在工作[4]中曾利用菲涅耳衍射理论导出了光学模成象规律的三个基本关 系：
（1）光学模成象规律之一
一高斯光束通过一薄透镜 F 变换时，若 q 和 q′ 分别为透镜入射面与出射面 处高斯光束的复参数，f 为薄透镜 F 的焦距，则其变换关系可表示为
（1） σ 圆
它们是通过侧焦点 Fl，Fl'和光轴上任意点 P 处的一些圆。任意点 P 处的波面 曲率半径 R 等于通过该处的一个σ 圆的直径（见图 1-2）。因此，可以通过作一 系列的 σ 圆来决定高斯光束在光轴上各点的波面曲率半径及其在传播过程中的 变化（见图 1-3）。
π
b
Fl
σ
b0
O
z
P
R
Fl'
-1-
θ = 2w(z)
= 2λ
z z → ∞ πw0
（1-7）
与更好的聚焦特性，即它经透镜聚焦后具有更小的聚焦光斑，且光束的能量按高 斯函数的平方关系更多地集中于光斑的中心。因此，我们在以后的关于光学谐振 腔的图解分析中只讨论输出基模光束的光学谐振腔问题。因而，基模高斯光束的 传播规律仍是我们最为关心的。
（1-16）
由上面两式可以看出，高斯光束传播特性，除与激光波长有关外，唯一地决定于 束参数 b0 值。基于这个特点，我们引入高斯光束的两个侧焦点 Fl，Fl'，它们位于
-3-
高斯光束的束腰截面内，对称地分置于光轴的两侧，两者的距离为 2b（0 见图 1-2）。 确定了侧焦点 Fl，Fl'后，就可以通过作两种传播圆的方法来描写高斯光束的传播 特性。这两种传播圆具体规定如下：
光学谐振腔的图解 分析与设计方法
Graphic Analysis and Design Method of Optical Resonator
张光寅 郭曙光 著
前言
光学谐振腔是激光器的一个重要组成部分。它直接关系到输出激光的功率、 模式特性、稳定性与光束质量，并最终影响到各种激光应用的效果。因而，对它 的研究与设计一直受到人们的重视。
-4-
π2
Fl
π1
w0
w1
w2
w3
w4
R0
R1 R2 R3 R4
σ1
σ2 σ3 σ4
Fl '
图 1-3 由传播圆描写的高斯光束传播过程中 R 与 w 的变化
由图 1-2 所示的几何关系不难证明式（1-15）的关系和下式的关系：
b = b02 + z 2 b0
再将其代入式（1-17），也就是立即证明了式（1-16）的关系。因此，传播圆所 描写的几何关系，正是式（1-15）和式（1-16）的图解。
随着各种激光器的发明与激光应用技术的发展，光学谐振腔的基本理论也逐 步地得以建立。但由于谐振腔的理论一般地较为复杂，颇不便于人们掌握与运用。 特别是，新的激光器（自克尔透镜锁模激光器与半导体激光泵浦固体激光器等） 仍在不断地出现；而实际激光器的谐振腔问题通常是复杂的，对于它的处理方法 又未达到成熟的程度。因此，发展简便的光学谐振腔的有效分析方法，有利于各 种激光器谐振腔的正确选择与设计，无疑地是有实际意义的。
r0
r
z
q0
q
z
(a)
(b)
图 1-1 （a）发自点光源的球面波的传播规律与 （b）高斯光束的传播规律的比较图示
-2-
将式（1-1）改写为
E
=
c
q0 q
⎧ exp⎨− i
⎩
2π λ
⎜⎜⎝⎛
z
+
x2 + y2 2q
⎟⎟⎠⎞⎭⎬⎫
这一关系式与发自点光源的球面波的旁轴传播关系式：
（1-12）
E
=
c
R0 R
映在有限空间中传播的光波的传播规律。
§1.2 传播圆图解方法
利用传播圆图解方法[2, 3]可以形象地描写高斯光束的传播规律。
首先，我们引入一束参数 b0，它决定于如下关系式：ຫໍສະໝຸດ w0 =b0 λ π
这时，式（1-2）和式（1-3）可改写为
R
=
b02
+ z2
z2
（1-14） （1-15）
w = λ b02 + z 2 π b0
对于光学谐振腔的分析，通常采用光束传输与变换的矩阵方法。这种方法虽 已比较成熟与规范，但其分析结果多以复杂的多参数的数学公式表示，腔内光模 特性的描述颇不直观。
在本书中，我们以模象理论与传播圆图解方法为基础，发展了一种光学谐振 腔的传播圆-变换圆图解分析方法。利用它可以简便有效地处理各种谐振腔的分 析问题，并能以清晰的物理图象描述腔内的光模特性；同时，易于正确选择合理 的谐振腔结构，找出有关谐振腔的最佳设计方案。在此基础上，便于以简捷的计 算手续，特别是初等几何的计算方法，获得光学谐振腔的定量设计数据。在本书 中，我们将通过一系列的实例，阐明这种图解分析方法，对一些常用的谐振腔做 出评价，并给出一些光学谐振腔的最佳设计方案。
第一章 光学谐振腔图解分析方法的理论基础
在本章中我们将介绍光学谐振腔图解分析方法的理论基础，并着重介绍传播 圆-变换圆图解方法；同时，也将介绍一些特殊的光学变换关系。
§1.1 高斯光束的传播特性
我们知道，从激光器中输出的激光束的基本光学模可以很好的用高斯光束来 描写。它沿 z 方向传播的电场成分可表示为[1]
上述理论的结论，在工作[4]中是利用菲涅耳衍射理论加以证明的。但证明 方法较为复杂；同时，没有明确地给出它们的适用条件。我们在工作[5]中，直 接利用上述高斯光束的传播与变换的两基本公式（1-9）与式（1-18），简便地导 出了式（1-21）至式（1-23）三个基本关系式。
设‘物’波面 R 和对应的‘象’波面 R′ 处的高斯光束的复参数分别为 q 和 q′