2020/2021学年度第一学期期中模拟试卷高三数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１.已知集合M ={x||2x +1|>3},N ={x|x 2+x −6≤0}，则M ∩N 等于（ ） A ．(−3,−2]∪[1,2]B ．(−3,−2)∪(1,+∞)C ．[−3,−2)∪(1,2]D ．(−∞,−3)∪(1,2]2．已知向量a →=(1,2),a →⋅b →=5,|a →−b →|=2√5，则|b →|等于 （ ） A ．√5 B ．2√5C ．25D ．5３．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，则从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A ．1+√3B ．2+√10C ．3√2D ．2√3４.已知函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥0x 2−2x −1,x <0，则对任意x 1,x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是 （ ）A. f(x 1)+f(x 2)<0B. f(x 1)+f(x 2)>0C. f(x 1)−f(x 2)>0D. f(x 1)−f(x 2)<0５．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则|a +b +c | 等于 （ ）A ．√3B ．6C ．√3或6D ．3或6６．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =1，BF =12，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P −DEF 的体积是A ．13 B ．√56C ．2√39D ．√23 ７.函数−2+i 的零点所在的区间为 ( )A ．2+iB ．(1+2iC ．1−2iD ．(12,34)８.设点P 是椭圆x 29+y 25=1上的一点，点M 、N 分别是两圆：(x +2)2+y 2=1和(x −2)2+y 2=1上的点，则的最小值、最大值分别为 ( )A. 4，8B.2，6 C) 6，8 D.8，12二、多项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得５分，部分选对的得３分，有选错的得０分） ９.若函数f(x)具有性质:,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数: 其中,满足“倒负”变换的所有函数的选项是 ( )A.(a>0且a ≠1); B.(a>0且a ≠1);C.;D..10.定义在R 上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断: 其中正确的选项是 ( )A ．关于直线对称； B ．是[0，1]上是增函数；Ｃ．在[1，2]上是减函数； Ｄ．．11．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：A ．B ．C ．D ．，其中正确的选项是 ( )（A ）（1）（2） （B ）（1）（3） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）12.如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，若AB =BC ，E ，F 分别是AB 1，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为45°D. EF//平面A 1B 1C 1D 1三、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共２0分，请将答案填在题中横线上1３．已知{x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0则x 2+y 2的最小值是______．14．已知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有16．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 cm 2.四、解答题：本大题共６个小题 共70分17． 设条件：实数满x 2—4ax+3a 2<0(a>0)条件：实数满足;已知q 是p 的必要不充分条件，求实数的取值范围。
18已知向量a =(sin ωx,cos ωx ),b =(cos ωx,√3cos ωx)（ω＞0），函数f (x )=a →⋅b →−√32的最小正周期为π。
（I ）求函数f (x )的单调增区间；（II ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且满足b 2+c 2=a 2+√3bc,求f (A )的值。
19.某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =18km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y ，（1）设∠PBO =α，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？20. 已知四棱锥P−ABCD底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB，BC的中点，（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．（Ⅲ）若PB与平面ABCD所成的角为45∘，求二面角A−PD−F的余弦值．21.已知函数f(x)=x−ln x,g(x)=x+a 2x,(其中a>0).（Ⅰ）求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;（Ⅱ）若x=1是函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a的值;（Ⅲ）若对任意的x1,x2∈[1,e]，（e为自然对数的底数，e≈2.718）都有f(x1)≤g(x2)，求实数a的取值范围.22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=12，a n＋2S n S n−1＝0(n≥2)．（Ⅰ）问：数列{1S n}是否为等差数列？并证明你的结论；（Ⅱ）求S n和a n；（Ⅲ）求证：S12+S22+S32+⋅⋅⋅+S n2<12−14n．参考答案选择题答案01-05 CDCDC 06-08 BBA 09 ACD 10 AD 11 AC 12ＡＢＤ填空题答案13 5 14 9 15 28 16 100π解答题17.解：设P={x|x2−4ax+3a2<0(a>0)}，可解得：P=(a,3a)，设可解得：，∵q是的必要不充分条件∵a>0,∴a≥2。
18.解析：（I）f(x)=a⋅b−√32=sinωx cosωx+√3cos2ωx−√32=12sin2ωx+√32cos2ωx=sin(2ωx+π3)∵f(x)的最小正周期为π，且ω＞0。
∴2π2ω=π,∴ω=1,∴f(x)=sin(2x+π3).由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z得f(x)的增区间为[−512π+kπ,π12+kπ](k∈Z)（II）由b2+c2=a2+√3bc,∴b2+c2−a2=√3bc,又由cos A=b 2+c2−a22bc=√3bc2bc=√32∴在ΔABC中，A=π6∴f(A)=sin(2×π6+π3)=sin2π3=√3219、解：（1）由等腰直角三角形ABC中AB=AC=18km得： OB =OA=9√2km，又∠ABC=π4，所以0≤α≤π4.所以点P到A、B、C的距离之和为y=2PB+PA=2×9√2cosα+(9√2−9√2tanα)=9√2+9√2×2−sinαcosα故所求函数关系式为y =9√2+9√2×2−sin αcos α. (0≤α≤π4)答：变电站建于距O 点3√6km 处时，它到三个小区的距离之和最小.20. 解：（Ⅰ）证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2， 又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2， ∴DF ⊥AF ．又PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ， ∴DF ⊥平面PAFPF ⊂平面PAF}⇒DF ⊥PF.（Ⅱ）过点E 作EH ∥FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD 且AH ＝14A再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14A P ，∴平面EHG ∥平面PF∴EG ∥平面PF D ．从而满足AG ＝14AP 的点G 为所求．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角．又有已知得∠PBA =45∘，所以PA =AB =1，所以 A (0,0,0),B (1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)．设平面PFD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z )，由{n ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{x +y −z =0x −y =0，令z =1，解得：x =y =12．所以n ⃗ =(12,12,1)．又因为AB ⊥平面PAD ， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAD 的法向量， 易得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 所以cos⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=12√4+4+1=√66． 由图知，所求二面角A −PD −F 的余弦值为√66．21. 解：（Ⅰ）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −ln x +x +a 2x 2=2x +a 2x−ln x定义域(0,+∞)∴ℎ′(x)=2−a 2x 2−1x =2x 2−x−a 2x 2，法一：令ℎ′(1)=0，解得a 2=1， 又a >0，∴a =1， 经验证a =1符合条件. 法二：令ℎ′(x)=2x 2−x−a 2x 2=0，∴2x 2−x −a 2=0，Δ=1+8a 2>1∴x 1,2=1±√1+8a 24，∵x >0，∴x =1+√1+8a 24为极值点，∴x =1+√1+8a 24=1，解得a 2=1，又a >0，∴a =1，（Ⅱ）对任意的x 1,x 2∈[1,e ]都有f(x 1)≤g(x 2)成立， 等价于对任意的x ∈[1,e ]都有fmin max 成立， 当x ∈[1,e ]，f ′(x)=1−1x =x−1x ≥0，∴f(x)在[1,e ]上单调递增， f max .g ′(x)=1−a 2x 2=(x−a)(x+a)x 2，x ∈[1,e ]，a >0 ∴（1）若0<a ≤1，g ′(x)=1−a 2x 2=x 2−a 2x 2=(x−a)(x+a)x 2≥0，g(x)=x +a 2x在[1,e ]单调递增，∴g2min ， ∴1+a 2≥e −1，解得√e −2≤a ≤1.（2）若1<a <e 当1≤x <a ，则g ′(x)=(x−a)(x+a)x 2<0 当a ≤x ≤e ，则g ′(x)=(x−a)(x+a)x 2≥0∴g(x)在1,a )递减，在[a,e ]递增，gmax min ，∴a≥e−1，又1<a<e，∴a∈(1,e)2≤0，∴g(x)在[1,e]递减，（3）当a≥e时g′(x)=(x−a)(x+a)x2g a2， a2≥−e恒成立.e max min综上所述a∈√e−2,+∞).22．。