第五章 相交线和平行线
【知识框架图】
平移
判定
性质
同位角,内错角,同旁内角
点到直线的距离
垂线及其性质
对顶角相等邻补角,对顶角平行公理
两三条条 直直线线被所第截两线条相直交
平行
相交
平线 面的 内位两置条关直系
【知识要点】
1、相交线：两条直线有唯一 公共点 时，它们的位置关系就叫相交。
两相交直线所构成的四个角中有 2 对对顶角，有 4对邻补角。
（1）邻补角：两个角是邻补角的条件有① 有公共顶点 ；② 一条公共边 ；③ 另不一边互为反向延长线 。
性质有 邻补角互补；若两个互为邻补角的角相等，则这两个角一定是 90 度。
（2）对顶角：两个角是对顶角的条件有① 有公共顶点 ；② 两边互为反向延长线 。
性质有 对顶角相等 。
此类问题常常用方程思想列方程来解决。
2、垂线：
⑴定义：如果两条直线相交所构成的角中有一个角是 直角，就叫这两条直线互相垂直，其中一条就是另一条的垂线。
过一点．．．（包括线上和线外两种情况）作已知直线的垂线 有且只有一 条。
如图0，因为直线AB ⊥CD 于O ，（O 叫 垂足 ），所以∠ AOC =∠ BOC =∠BOD =∠ AOD = 90 °。
反之，因为∠ AOC= 90 °(或∠ BOC=
90 °或∠BOD= 90 °或∠ AOD = 90 °），所以AB⊥CD。
回忆并操作：如何过三角形（特别是钝角三角形）的顶点作对边的垂线。
⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称成为垂线段最短。
举例：跳远成绩的测量、从河流引水的水渠的挖掘等。
⑶点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线段的距离
3、三线八角：两条直线被第三条直线所截，必将构成八个角，其中两个角之间的位置关系分为三种情况：同位角、内错角、同旁内角。
同位角成“F”形；内错角成“Z”形或“N”形，同旁内角成”C”形。
每一种角之间必须要有平行线为前提才有相等或互补的数量关系，否则其数量关系并不成立。
如找出图中的三线八角，能否确定它们之间的相等或互补的数量关系？（不能）
（学会图形的分解）:
对同位角 12对邻补角
6对内错角 6对对项角
对同旁内角
4、平行线
⑴同一平面内，两条永不相交（即没有交点）的直线的位置关系叫互相平行，其中一条叫另一条的平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系
图 0
O
D
C
B
A
E
B
只有相交和平行两种。
（能分类说出n条直线在同一平面内的交点个数〈多种情况〉及把所在平面分成的部分最多的个数分别是 1/2n(n-1) 、 1/2n(n+1)+1。
⑵平行公理：经过直线外一点
．．．．．，有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。
（反证法、几何语言）
⑶平行线的识别：
①定义在同一平面内,两条不相交的直线叫平行线；
②平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那第这两条直线也互相平行；
③同位角相等两直线平行；
④内错角相等,两直线平行；
⑤同旁内角互补两直线平行。
⑷平行线的性质：
①永不相交；没有交点；②两直线平行,同位角相等；
③两直线平行,内错角相等；④两直线平行,同旁内角互补。
用几何语言表达为：如图3：
∵AB∥CD，∴∠AGH=∠CHF，∠AGH= ∠GHD，∠AGH+ ∠CHG=180°。
（分别写出一组即可）
⑸平行线之间的距离是同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度。
这些线段是平行且相等的，所以有平行线中的一条上的两点与另一条上的所有点构成的三角形的面积都相等。
要与两点之间的距离和点到线的距离区别开来。
例：平行线判定与性质应用：
如图,已知AB ∥CD 试探索∠A, ∠E, ∠C 之间的关系?
5、命题:
（1）定义： 判断 一件事情的语句。
命题由题设和结论两部分组成。
可以分成
真命题 和 假命题两种类型。
判断一个命题是真命题要经过推理证明，判断一个命题是假题只要举一反例。
（2）命题的改写：命题可以改成“如果……那么……”的形式，由此找出题设和结论。
命题的改写有时要添加适当的语句把如果那么部分成为完整的一句话。
如：对顶角相等： 如果两个角是对顶点，那么这两个角相等 等角的余角相等： 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等 （3）定理：正确性经过推理证实，这样的真命题叫定理。
6、平移：
（1）平移：将一个图形不改变其形状、大小沿同一方向移动到一个新位置的图形变换。
（2）性质：①对应点的连线 平行 且 相等； ②对应线段 平行 且 相等 或在一条直线上；
③对应角 相等 ；图形的平移由平移的方向（即对应点连线的 方向）和平移的 距离（即对应点连线的 线段的长度）决定。
所以根据性质可以通过找特殊点画出平移图形。
E
D
D。