杭州学军中学2019学年第一学期期中考试
高三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集U =R ，集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>则下列关系中正确的是（ ） A.P M = B.M P M = C.M
P M = D.()U C M P =∅
2.设纯虚数z 满足 11i
ai z
-=+（其中i 为虚数单位）
，则实数a 等于（ ） A.1
B.－1
C.2
D.－2
3.若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =+的取值范围是（ ）
A.[]6,0
B.[]0,4
C.[)6,+∞
D.[)4,+∞
4.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A.1a b >- B.1a b >+ C.a b > D.22a b >
5.函数2ln x x y x
=
的图象大致是（ ）
A B C D 6.已知函数1()0
x D x x ⎧=⎨
⎩为有理数为无理数
，则（ ）
A.(())1D D x =,0是()D x 的一个周期
B.(())1D D x =,1是()D x 的一个周期
C.(())0D D x =,1是()D x 的一个周期
D.(())0D D x =,()D x 最小正周期不存在 7.若关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ）
A.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.(],0-∞
C.(],1-∞
D.(],5-∞ 8．若O 是ABC ∆垂心，6
A π
∠=且sin cos sin cos 2sin sin B C AB C BAC m B C AO +=，
则m =（ ） A.
1
2
9.已知二次函数2
()(2)f x ax bx b a =+≤，定义{}1()max ()11f x f t t x =-≤≤≤，
{}2()min ()11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b
表示b a ,中的较小者，下列命题正确的是（ ）
A.若11(1)(1)f f -=，则(1)>(1)f f -
B.若22(1)(1)f f -=，则(1)(1)f f ->
C.若21(1)(1)f f =-，则11(1)(1)f f -<
D.若21(1)(1)f f =-，则22(1)(1)f f -> 10.已知数列{}n a 满足2111
,312
n n n a a a a +=-=++，若1
2
n n b a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11. ()5
12x -展开式中3
x 的系数为 ，所有项的系数和为 ．
12.等比数列{}n a
中，12a a =22013
82019
a a a a +=+ ，1234a a a a = ．
13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已
知s i n c o s c A a C =，则
C =
，若c =，ABC ∆
的面积为
2
，则a b += ． 14.已知函数222,0()2(1),0
x x x f x f x x -⎧+-≥=⎨+<⎩，则3
()2f -= ，若函数()()g x f x k =-有
无穷多个零点，则k 的取值范围是 ．
15.已知,x y R ∈且221x y xy ++=，则x y xy ++的最小值为 ．
16.已知平面向量,,a b c 满足,,015a b c a c b c ⋅==-=-=，则a b -的最大值
为 ．
17.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18.(本题满分14分)已知函数()2sin cos()3
2
f x x x π
=++
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值及最小值.
19.(本题满分15分)已知在ABC ∆中，1AB =，2AC =．
（Ⅰ）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()
2AD AB AC ⋅-uuu r uu u r uuu r
；
（Ⅱ）若点E 为BC 的中点，求2211
AE BC
+uu u r uu u r 的最小值．
20.(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足：2
3
3
312n n S a a a =++
+，其中n S 是数
列{}n a 的前n 项和.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()()()
1
412121n n n n n
b a a -=--+，证明：1222
21
n n b b b n +++
+≤
+.
21.(本题满分15分)设函数(),x
f x e ax a a R =-+∈，其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B
x 两点，且12.x x <
（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：0f '<.
22.(本题满分15分)已知函数2
()ln 2,.f x x ax bx a R =---∈ （Ⅰ）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若对任意的3(,)b e
∈-∞-，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.
杭州学军中学2019学年第一学期期中考试
高三数学答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分,单空题每题4分,共36分． 11. -80 ， -1 12.
98 ， 2
9
13.
3
π
， 7 14.
， 0≥k 15. 4
5
-
16. 8 17. []8,4- 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（Ⅰ）3()sin(2),2223
2
3
2
f x x k x k π
π
π
πππ=+∴+≤+
≤+
所以单调减区间为32,2,;2
2
k k k Z π
πππ⎛⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
（Ⅱ）
42max 1,min 3
3
3x f f π
π
π≤+
≤
∴== 19.（1）(
)()
21220;33AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭
uuu r uu u r uuu r uu
u r uuu r uu u r uuu r
（2）(
)2
2
22
4210AE BC AB AC
+=+=Q
()
22
2222
1
1
111941010AE BC AE BC AE BC ⎛⎫∴+= +⎪+≥ ⎪⎝⎭
20.（Ⅰ）23111233
22121
;2
n a S a a n a S a a =⎧=⎧∴∴=⎨⎨==+⎩⎩ （Ⅱ）()
()()
()()1
141111*********n n n
n n b n n n n --=-=----+-+
()
121122
111.212121
n
n n b b b n n n +∴+++=--≤+=+++L
21.
22.（Ⅰ）2
122(),0x ax f x x x
--'=>
()10,(),+;在递增递减a f x ⎛
⎫>∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ()112=0,()0,
,,+;22在递增递减a f x ⎛⎫⎛⎫
∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()1
22230,()0,,,2444在递增递减a f x a a a ⎛⎫⎛--+---
<< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
2;4递增a ⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
()()1
4,()0,;2
在递增a f x ≤-
+∞
（2）问题等价于
ln 2
x ax b x
-=+有两解 令ln 2(),0x g x x x -=>有2
3ln (),0x
g x x x
-'=> ()()233()0;()0,,,;0,();,()0;在递增递减g e g x e e x g x x g x ∴=+∞→→-∞→+∞→ 30,0,,有图象知过作切线时斜率最大a a e ⎛
⎫∴>- ⎪⎝⎭
()00000020003ln 2ln 52ln 53
,设切点为有x x x x y y x x e x x x e
---=
+∴=-∴= 22
220.此时斜率取到最大
a a e e ∴<≤。