4.导数应用（恒成立与存在性）
恒成立：
min max x M ，f ()恒成立(),x M ，f ()恒成立()x a f x a x a f x a ∀∈≥⇔≥∀∈≤⇔≤ 存在性：max min x M ，f ()恒成立(),x M ，f ()恒成立()x a f x a x a f x a ∃∈≥⇔≥∃∈≤⇔≤
【题型1】恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a <⇔< max )()(x f a x f a >⇔>
1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；a 1≥-
练习：1.f(x)=xcosx-sinx,x [0,]2π
∈,求证：f(x)≤0. 'f(x)=-xsinx 2. 设c x x x x f 8129-2)(23++=，对任意的∈x ［0,3］，都有2)(c x f <成立,求c 的取值范围. c<-1或c>9
【题型2】恒成立问题求参数范围（分离参数法）
1. 已知函数x a x x f ln )(2+= ，若函数x
x f x g 2)()(+=在［1，4］是减函数，求实数a 的取值范围。

222)(x x a x x g -+='， 2
63-≤a 练习：已知)10(cos )(<<-+=-x x x ae x f x
（1）若对任意的0)(),1,0(<∈x f x 恒成立，求a 的取值范围。

1-≤a
（2）求证：)10(2
1sin 2
<<+<+-x x x e x 。

h(x)<h(0)=0 【题型3】恒成立问题（构造差函数求最值）
min max ,()()[()()]0,()()[()()]0x M f x g x f x g x f x g x f x g x ∀∈≥⇔-≥≤⇔-≤（同一变量） max min ,()()[()()]0,()()[()()]0x M f x g x f x g x f x g x f x g x ∃∈≥⇔-≥≤⇔-≤
1212min max 12max min ,,()()()(),()()()()x x f x g x f x g x f x g x f x g x ∀∀≥⇔≥≤⇔≤（两个独立变量） 1212max min 12min max ,,()()()(),()()()()x x f x g x f x g x f x g x f x g x ∃∃≥⇔≥≤⇔≤
1. 设l 为曲线C:ln 在点（1，0）处的切线.
x y x =
(1) 求l 的方程. y=x-1
(2) 证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方.
练习：求证：当x>1时，。

'(2l n 2)()x x a f x x -+=
2ln 2ln +（1a 0)x x a x >-≥
1、（2013全国卷）若函数)(x f =x ax x 12++在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,21上是增函数，则a 的取值范围是（ ）
A []0,1-
B [)+∞-,1
C []3,0
D [)+∞,3
2、若曲线)(x f =x ax ln 2
+ 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 。

a<0
3、若函数)(x f =1)2(3323++++x a ax x 有极大值和极小值，则a 的取值范围是 。

a>2或a<-1
4、已知)(x f =x ，)(x g =x a ln +.
(1) 若),0(+∞∈∀x ，总有)(x f >)(x g 成立，则实数a 的取值范围是 。

(2) 若[]2,1,21∈∀x x ，总有)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 。

(3) 若[][]2,1,2,121∈∃∈∀x x ，使)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 。

(4) 若[][]2,1,2,121∈∀∈∃x x ，使)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 。

(5) 若[][]2,1,2,121∈∃∈∃x x ，使)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 。

与导数有关的“恒成立”，“能成立”问题
1、已知函数x x a x f +=ln )(在区间[]3,2上单调递增，则实数a 的取值范围是 a ≥-2
2、若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间()1,1+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 .
3.已知函数f （x ）=x 3-kx 在区间（-3，-1）上不单调，则实数k 的取值范围是______．3＜k ＜27
4.函数在区间上不单调，则实数的范围是 .（-3,1） 5、对[]2,1∈∀t ，x x m x x g 2)22()(23-++=在区间()3,t 上不单调，则m 的取值范围是 .37(,-9)3-。