高中恒成立问题总结

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法;

②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。

核心思想:

1.恒成立问题的转化:

afx恒成立maxafx; minafxafx恒成立

2.能成立问题的转化:

afx能成立minafx; maxafxafx能成立

3.恰成立问题的转化:

若AxfDx)(,在D上恰成立)(xf在D上的最小值Axf)(min;

若,DxBxf)(在D上恰成立 )(xf在D上的最大值Bxf)(max.

4. 设函数xf,xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin;

设函数xf,xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax;

设函数xf,xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax;

设函数xf,xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin;

5.若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方;

若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方.

6.常见二次函数

①.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在R上恒成立，则有00a（或00a）;

②.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解.

一﹑主参换位法 例1．对于满足40p的一切实数，不等式342pxpxx恒成立，试求x的取值范围．

二﹑二次不等式恒成立问题

例2．已知关于x的不等式03)1(4)54(22xmxmm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

例3．已知函数22241,fxmxmxgxmx，若对于任一实数x，()fx与()gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ )

A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)

例4．已知函数222fxxkx，在1x恒有fxk，求实数k的取值范围。

三、分离参数法

形如“()afx”或“()afx”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“)(xfa在Dx上恒成立，则max)]([xfa(Dx);)(xfa在Dx上恒成立，则min)]([xfa(Dx)”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．

例5.当(1,2)x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是 .

例6．已知二次函数xaxxf2)(，若1,0x时，恒有1)(xf，求a的取值范围．

例7．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

例8．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )

A.－235，＋∞ B.－235，1 C．(1，＋∞) D.－∞，－235

四、数形结合（对于()()fxgx型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）

例9.若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是

(A) 1a (B) ||1a (C) ||1a （D）1a

三﹑绝对值不等式恒成立问题

例10．对于任意实数x，不等式axx21恒成立，求实数a的取值范围．

例11.若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是

(A) 1a (B) ||1a (C) ||1a （D）1a

四﹑含对数﹑指数不等式恒成立问题

例12．当)21,0(x时，不等式xxalog2恒成立，求a的取值范围．

五.形如“()()fxgx”型不等式

例8．已知函数)1lg(21)(xxf，)2lg()(txxg，若当1,0x时，)()(xgxf恒成立，求实数t的取值范围．