恒成立问题与存在性问题
思路一：
（1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则
不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >⇔min )(；
不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥⇔min )(；
不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f <⇔max )(；
不等式a x f ≤)(在区间D 上恒成立a x f ≤⇔max )(；
（2）若函数在D 区间上不存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，且值域为),(n m 则 不等式a x f >)(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥⇔；
不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤⇔。

例题1：
已知函数.ln )(x x x f =
（1）求函数.ln )(x x x f =的最小值；
（2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。

答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞
变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取
值范围。

答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(-
（2）22
->e m
（3）)3ln 23,2ln 22(--
思路二
（1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，即],[)(n m x f ∈则不等式有解的问题有下列结论：
不等式a x f >)(在区间D 上有解max )(x f a <⇔；
不等式a x f ≥)(在区间D 上有解max )(x f a ≤⇔；
不等式a x f <)(在区间D 上有解min )(x f a >⇔；
不等式a x f ≤)(在区间D 上有解min )(x f a ≥⇔。

（2）若函数)(x f 在D 区间上不存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，即),()(n m x f ∈则不等式有解的问题有下列结论：
不等式a x f >)(或))((a x f ≥在区间D 有解n a <⇔；
不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上有解m a >⇔。

例题2： 已知函数x a x g x a x x f 1)(,ln )(+-
=-= （1）若1=a 求函数)(x f 的极值；
（2）设函数)()()(x g x f x h -=，求函数)(x h 的单调区间；
（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f <成立，求实数a 的取
值范围。

答案：（1）1)1()(==f x f 极小值
（2）1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；1->a 时，
递增区间是),1(+∞+a ，递减区间是)1,0(+a 。

（3）简答：],1[,0)]()([0min 00e x x g x f ∈<-
2')1)](1([)(x
x a x x h ++-= 分类3讨论，结果是),1
1()2,(2+∞-+--∞e e
变式：设函数x
b x a x x f +
-=ln )(在1=x 处取得极值。

（1）求a 与b 满足的关系式； （2）若1>a 求函数)(x f 的单调区间；
（3）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在]2,2
1
[,21∈m m ，使得9)()(21<-m g m f 成立，求a 的取值范围。

答案：（1）1=+b a ；
（2）2')
1)](1([)(x x a x x f ---=
①21<<a 时，函数的递增区间是),1(),1,0(+∞-a ，递减区间是)1,1(-a 。

②2=a 时，函数递增区间是),0(+∞，没有递减区间。

③2>a 时，函数的递增区间是),1(),1,0(+∞-a ，递减区间是)1,1(-a 。

（3）3>a 时，02)1()(max <-==a f x f ;034)21()(2
min >+==a
g x g
存在 9)()()()(1221<-=-m f m g m g m f 成立，只需9)1()21
(<-f g
又3>a ，所以43<<a 。

思路三
若对任意],[1b a x ∈，总存在],[2n m x ∈使，min 2min 121)()()()(x g x f x g x f ≥⇔≥； 若对任意],[1b a x ∈，总存在],[2n m x ∈使，max 2max 121)()()()(x g x f x g x f ≤⇔≤； 若对任意],[1b a x ∈，],[2n m x ∈使，max 2min 121)()()()(x g x f x g x f ≥⇔≥； 若对任意],[1b a x ∈，],[2n m x ∈使，min 2max 121)()()()(x g x f x g x f ≤⇔≤ 例题3：
已知函数11ln )(--+-=x a
ax x x f
（1）当21
≤a 时，讨论函数)(x f 的单调性；
（2）设,42)(2+-=bx x x g 当41
=a 时，若对任意的),2,0(1∈x 存在]2,1[2∈x ，使
)()(21x g x f ≥求实数b 的取值范围。

答案：（1）① 当0≤a 时，函数)(x f 的在)1,0(上单调递减；在),1(+∞上单调递增； ② 当210<<a 时，函数)(x f 的在),1()1,0(+∞-a a ，上单调递减；在)1,1(a a -上单调递增；
③ 当21
=a 时，函数)(x f 的在),0(+∞上单调递减；
（2）依题意，min 2min 1)()(x g x f ≥⇒b 的取值范围是),817
[+∞
变式：
已知函数x x a ax x f ln 2)12(21
)(2++-=)(R a ∈
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）设x x x g 2)(2-=，若对任意的]2,0(1∈x 均存在]2,0(2∈x 使得)
()(21x g x f ≤ 求a 的取值范围。

答案：
（1）x x ax x f )
2)(1()('--=
分类讨论
①0=a ②21
=a ③21
>a ④21
0<<a ⑤0<a 五种情况
结论：略
（2）依题意]2,0()()(max max ∈<x x g x f ，，0)(max =x g 故0)(max <x f 由（1）知21
≤a 时，
)(x f 在]2,0(上递增，2ln 102ln 222)2()(max +->⇒<+--==a a f x f 当21>a 时，)(x f 在]2,0(上的最大值是02ln 221
2)1(<---=a a f 成立；
综上a 的取值范围),2ln 1(+∞+-。